Dubbio critico su esercizio ingenuo (Determinazione Base e appartenenza dipendente da parametro)
Ciao a tutti, sono alle prese con un esercizio di Algebra che inizialmente si presentava abbastanza semplice (magari lo è effettivamente). Tuttavia mi sono arenato su sull'ultimo punto dell'esercizo, che cito:
Nello spazio vettoriale V = R3[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o
uguale a 3, siano $p1(x) = x$, $p2(x) = x − x^2 − x^3$ e $S =< p1(x), p2(x) > .$
Si consideri poi il sottospazio $S' = {p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 | p(−1) = p(0) = 0}.$
a) Si determini una base di S ∩ S'.
b) Si costruisca una base di S + S' che contenga la base di S ∩ S'trovata al precedente punto a).
c) Si determinino gli eventuali valori del parametro reale k tali che il polinomio $ q[k](x) = 2x + (k + 1)x^2 + kx^3$ appartenga a S.
La prima cosa su cui vorrei delle conferme è la determinazione della base di S: il mio dubbio verteva nel definire $p2(x)$ come generato da $(-1, -1, 1, 0)$ oppure da $(-1, 0, 0, 0), (0, -1, 0, 0), (0,0,1,0)$, ma ho prediletto la prima ipotesi poiché $p2(x)$ è scritto senza definire coefficienti diversi per le $x$. Così la base di S risulterebbe essere formata da $<(-1, -1, 1, 0), (0, 0, 1, 0)>$.
Per gli altri punti non ho avuto dubbi, ma nel punto $c$ viene chiesto di determinare k in modo che quel polinomio $p[k](x)$ appartena a S.
Dunque ho impostato la seguente relazione:
$a(-1, -1, 1, 0) + b(0, 0, 1, 0) = kx^3 + (k+1)x^2 + 2x$
passando al sistema risulta:
$-a = k$
$-a=k+1$
$a+b=2$
che risulta impossibile da risolvere, fuoriuscendo $0=1$ nella seconda equazione.
Sapreste dirmi dove sbaglio?
Cordialmente
Nello spazio vettoriale V = R3[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o
uguale a 3, siano $p1(x) = x$, $p2(x) = x − x^2 − x^3$ e $S =< p1(x), p2(x) > .$
Si consideri poi il sottospazio $S' = {p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 | p(−1) = p(0) = 0}.$
a) Si determini una base di S ∩ S'.
b) Si costruisca una base di S + S' che contenga la base di S ∩ S'trovata al precedente punto a).
c) Si determinino gli eventuali valori del parametro reale k tali che il polinomio $ q[k](x) = 2x + (k + 1)x^2 + kx^3$ appartenga a S.
La prima cosa su cui vorrei delle conferme è la determinazione della base di S: il mio dubbio verteva nel definire $p2(x)$ come generato da $(-1, -1, 1, 0)$ oppure da $(-1, 0, 0, 0), (0, -1, 0, 0), (0,0,1,0)$, ma ho prediletto la prima ipotesi poiché $p2(x)$ è scritto senza definire coefficienti diversi per le $x$. Così la base di S risulterebbe essere formata da $<(-1, -1, 1, 0), (0, 0, 1, 0)>$.
Per gli altri punti non ho avuto dubbi, ma nel punto $c$ viene chiesto di determinare k in modo che quel polinomio $p[k](x)$ appartena a S.
Dunque ho impostato la seguente relazione:
$a(-1, -1, 1, 0) + b(0, 0, 1, 0) = kx^3 + (k+1)x^2 + 2x$
passando al sistema risulta:
$-a = k$
$-a=k+1$
$a+b=2$
che risulta impossibile da risolvere, fuoriuscendo $0=1$ nella seconda equazione.
Sapreste dirmi dove sbaglio?
Cordialmente
Risposte
Per il punto c) effettivamente vanno determinati dei coefficienti $a,b,k$ tali che
$$2x+(k+1)x^2+kx^3=ax+b(x-x^2-x^3)$$
da cui
$$a+b=2,\qquad -b=k+1,\qquad -b=k$$
ed effettivamente non ci sono soluzioni.
Ma ti faccio presente che la domanda parla di "eventuali" valori di $k$...
$$2x+(k+1)x^2+kx^3=ax+b(x-x^2-x^3)$$
da cui
$$a+b=2,\qquad -b=k+1,\qquad -b=k$$
ed effettivamente non ci sono soluzioni.
Ma ti faccio presente che la domanda parla di "eventuali" valori di $k$...
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