Dubbio copertura lineare
Ciao a tutti, sto studiando il concetto di copertura lineare e tra le proprietà il libro riporta che:
"L(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale contente A, ovvero che L(A) è sempre contenuto in ogni sottospazio vettoriale contenente A"
e aggiunge che (una specie di dimostrazione):
"E' immediato osservare che ogni sottospazio vettoriale che contiene A deve contenere tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori di A e quindi anche L(A)"
Non mi è chiaro perchè "ogni sottospazio vettoriale che contiene A deve contenere tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori di A"...mi potete dare una mano a capire?
"L(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale contente A, ovvero che L(A) è sempre contenuto in ogni sottospazio vettoriale contenente A"
e aggiunge che (una specie di dimostrazione):
"E' immediato osservare che ogni sottospazio vettoriale che contiene A deve contenere tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori di A e quindi anche L(A)"
Non mi è chiaro perchè "ogni sottospazio vettoriale che contiene A deve contenere tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori di A"...mi potete dare una mano a capire?
Risposte
Presumo che $A$ sia uno spazio vettoriale , giusto ?
No, A è un sistema di vettori dello spazio vettoriale V sul campo K.
"E' immediato osservare che ogni sottospazio vettoriale che contiene A deve contenere tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori di A e quindi anche L(A)"
Mi sono accorto che per sistema di vettori di $V$ intendi che questo sistema sia un insieme finito di vettori di $V$.
Sia [tex]A \subseteq W[/tex] dove $W$ è un qualsiasi sottospazio vettoriale di $V$ e $A = (v_1,...,v_n)$, allora [tex](v_1,...,v_n) \subseteq W[/tex].
Poichè $W$ è un sottospazio vettoriale ne segue che qualsiasi combinazione lineare dei suoi vettori appartiene ancora a $W$. Dunque anche qualsiasi combinazione lineare di $A = (v_1,...,v_n)$ appartiene ancora $W$.
Se chiamiamo questa combinazione lineare $Span (A)$ (oppure $L(A)$ se in riferimento alla terminologia del tuo libro) si ha che :
- $A in W$
-$Span(A) in W$
E mi pare che siamo.
Mi sono accorto che per sistema di vettori di $V$ intendi che questo sistema sia un insieme finito di vettori di $V$.
Sia [tex]A \subseteq W[/tex] dove $W$ è un qualsiasi sottospazio vettoriale di $V$ e $A = (v_1,...,v_n)$, allora [tex](v_1,...,v_n) \subseteq W[/tex].
Poichè $W$ è un sottospazio vettoriale ne segue che qualsiasi combinazione lineare dei suoi vettori appartiene ancora a $W$. Dunque anche qualsiasi combinazione lineare di $A = (v_1,...,v_n)$ appartiene ancora $W$.
Se chiamiamo questa combinazione lineare $Span (A)$ (oppure $L(A)$ se in riferimento alla terminologia del tuo libro) si ha che :
- $A in W$
-$Span(A) in W$
E mi pare che siamo.
Guarda che $A$ non è uguale a $Span(v_1,...,v_n)$, se mai $A= {v_1,...,v_n}$, cioè è l'insieme di vettori che contiene i generatori di $L(A)$.
Dudey per essere un sottospazio vettoriale si deve avere : per ogni $a,b in K$, per ogni $ul(v),ul(w) in W$ che $a ul(v) + b ul(v) in W$, dove $W$ è un generico sottospazio vettoriale contenente $A$. Che è equivalente a dire l'affermazione che non capivi, infatti se $W$ contiene $n$ vettori, per il semplice fatto che somma e prodotto per scalare, in uno spazio vettoriale, devono essere interni allo spazio, ogni combinazione lineare di questi vettori deve stare nello spazio.
Ora ti è chiaro?
Dudey per essere un sottospazio vettoriale si deve avere : per ogni $a,b in K$, per ogni $ul(v),ul(w) in W$ che $a ul(v) + b ul(v) in W$, dove $W$ è un generico sottospazio vettoriale contenente $A$. Che è equivalente a dire l'affermazione che non capivi, infatti se $W$ contiene $n$ vettori, per il semplice fatto che somma e prodotto per scalare, in uno spazio vettoriale, devono essere interni allo spazio, ogni combinazione lineare di questi vettori deve stare nello spazio.
Ora ti è chiaro?
Guarda che a me è chiarissimo. Avevo capito che per sistema di vettori di $V$ lui intendesse un sottospazio vettoriale di $V$. Invece lui intendeva un insieme finito di vettori di $V$
Infatti non lo stavo spiegando a te 
A te non era chiaro semplicemente cosa non avesse capito Dudey.
A te non era chiaro semplicemente cosa non avesse capito Dudey.
Ok grazie ad entrambi. Ora mi è chiarissimo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo