Dubbio - concetto di base

[Dudey92]

Allora sul libro di algebra ho la seguente definzione di base:

"Una base di uno spazio vettoriale V finitamente generato è un sistema libero di generatori di V"

E la seguente affermazione:

"Sia R[x] l’insieme dei polinomi di grado qualsiasi a coefficienti reali.
Tale spazio non può essere dotato di una base formata da un numero finito di elementi. Notiamo tuttavia che i polinomi
1 , x , x2 , . . . , xn , . . . formano una base infinita di R[x]. "

Allora mi è venuto un dubbio:

R[x] non è finitamente generato quindi non esiste un sistema finito di generatori. Ma il libro mi dice che esiste una base infinita...ma se un insieme non è finitamente generato allora un suo sistema di generatori è il sottospazio stesso (giusto?). Allora R[x] è una base di se stesso? Se si come si può definire "base" dato che R[x] non è libero?

[maurer]

Definizione. Sia [tex]K[/tex] un campo, [tex]V[/tex] un [tex]K[/tex]-spazio vettoriale. Sia [tex]S \subseteq V[/tex] un sottoinsieme di [tex]V[/tex]. Diciamo che [tex]S[/tex] è libero se ogni sottoinsieme finito di [tex]S[/tex] è formato da vettori linearmente indipendenti.
Definizione. Sia [tex]K[/tex] un campo, [tex]V[/tex] un [tex]K[/tex]-spazio vettoriale. Sia [tex]S \subseteq V[/tex] un sottoinsieme di [tex]V[/tex]. Diciamo che [tex]S[/tex] è una base di [tex]V[/tex] se

1. [tex]S[/tex] è libero;
2. il più piccolo sottospazio vettoriale di [tex]V[/tex] che contiene [tex]S[/tex] è [tex]V[/tex] stesso (ossia [tex]S[/tex] genera [tex]V[/tex]).
[/list:u:134k3kje]

Teorema. Sia [tex]V[/tex] un [tex]K[/tex]-spazio vettoriale. Allora [tex]V[/tex] ammette una base.

Dimostrazione: Esercizio! (Occorre avere qualche familiarità con il Lemma di Zorn).

Nel tuo caso, la fantomatica base cercata è [tex]\{1, X, X^2, \ldots, X^n, \ldots, \}[/tex].

[Studente Anonimo]

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