Dubbio (banale) sulla scrittura formale di un assioma della geometria

[astrifiammante]

Salve a tutti. Sto provando, per interesse personale, a scrivermi gli assiomi di hilbert della geometria euclidea solida usando la logica (del secondo ordine) e non la teoria degli insiemi. Sono arrivato alla codifica del seguente assioma di collegamento:

se due punti stanno su una retta e giacciono entrambi sullo stesso piano allora tutti i punti della retta giacciono su quel piano

Io ho usato nel mio alfabeto le relazioni:

[list=1] il punto $P$ giace sulla retta $r: \mathcal{G}(P,r) $ [/list:o:bzlrhww9]
[list=2] il punto $P$ giace sul piano $\alpha : \mathcal{H}(P,\alpha) $ [/list:o:bzlrhww9]

In tal modo l'assioma scritto sopra in italiano diventa:

$$ \mathcal{G}(A,r) \wedge \mathcal{G}(B,r) \wedge \mathcal{H}(A,\alpha) \wedge \mathcal{H}(B,\alpha) \to
(\mathcal{G}(P,r) \to \mathcal{H}(P,\alpha)) $$

quello che mi lascia perplesso è se mi sono mangiato un quantificatore :

......allora tutti i punti della retta giacciono su quel piano

o se è corretto così perchè non occorre?

[astrifiammante]

Forse ho capito come correggere (ditemi se è esatto):

$$(\exists A,B: \mathcal{G}(A,r)\wedge \mathcal{G}(B,r)\wedge \mathcal{H}(A,\alpha)
\wedge \mathcal{H}(B,\alpha)) \to (\forall P (\mathcal{G}(P,r)\to\mathcal{H}(P,\alpha))) $$