Dubbio atroce su polare e retta tangente di curve(coniche)

[zipangulu]

Allora faccio qualche premessa prima di esporre il mio dubbio:
studiando mi sembra di aver capito che,data una conica $C$ e un punto esterno $P$ si definisce polare di $C$ rispetto a $P$ la retta che congiunge i due punti d'intersezione che le tangenti alla curva passanti P hanno con $C$
ma andando nella pratica tramite esercizi mi sono reso conto che il procedimento per trovare l'equazione della polare è il medesimo che si ha per trovare la tangente ad una curva in un suo punto (o passante per un punto esterno stante sulla stessa retta per il punto di tangenza è la stessa cosa,inquanto essendo il punto esterno di coordinate proporzionali al punto di tangenza sulla curva i risultati non cambiano),in pratica
ho che definita una conica in coordinate omogenee
$C: F(X,Y,T)=0$
un punto esterno a $C$ di coordinate omogenee $P=(X_0,Y_0,T_0)$
la polare rispetto a $P$ alla curva si trova come:
$F_X(P)X+F_Y(P)Y+F_T(P)T=0$
dove $F_X(P),F_Y(P),F_T(P)$ sono le derivate parziali di $F(X,Y,T)$ calcolate in $P$
ma analogamente anche la retta tangente alla curva,che sia P appartenente alla curva o un punto esterno appartenente alla stessa retta tangente (è indifferente come ho detto sopra),si trova come:
$F_X(P)X+F_Y(P)Y+F_T(P)T=0$

quindi,mi chiedo come sia possibile ciò?dove sta l'errore?è il mio ragionamento che è sbagliato o c'è qualche concetto di fondo che mi sfugge?
P.S. spero di essermi fatto capire

[cirasa]

Per escludere casi limite, supponiamo che si tratti di una conica di rango 3.

Non hai commesso nessun errore. Il motivo è che la retta polare di un punto qualsiasi si può definire in modo alternativo mediante le derivate parziali come hai fatto tu (in realtà lo si fa mediante la matrice associata alla conica rispetto ad un fissato riferimento).
E si può dimostrare che questa definizione è equivalente a chiedere che
- nel caso che il punto appartenga alla conica, la polare del punto è la retta tangente;
- nel caso che il punto non vi appartenga, la polare è la retta che unisce i due punti d'intersezione che le tangenti alla curva passanti per il punto hanno con la conica.