Dubbio associazione matrici e basi
Salve, ho un dubbio atroce su questo esercizio:
Per l'unicità si vede subito perchè è definito su base {(1,1),(1,-1)} che ha dimensione pari al dominio. E qui ok.
Per gli autovalori io lo metto in matrice direttamente così:
\(\displaystyle \left[\begin{matrix}3 & 9 \\ -1 & -3\end{matrix}\right] \)
e procedo alla maniera tradizionale.
Il problema è che la soluzione è diversa e non l'ho compresa appieno:
in particolare il punto dove trova la matrice.
1 - Quella che ho trovato io non dovrebbe essere la M associata ad f rispetto a B nel dominio e I2 nel codominio?
2 - Due matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse dovrebbero condividere lo stesso polinomio caratteristico e quindi stessi autovalori ed autospazi. Sbaglio o non ci dovrebbe essere bisogno di tutti questi passaggi?
Ho la sensazione che ci sia qualcosa di maledettamente sbagliato in quello che ho studiato
Sia f un endomor smo di R2 tale che f(1,1) = (3,-1) e
f(1,-1) = (9,-3). Dopo aver dimostrato che f è unico, determinare gli
autovalori e gli autospazi di f.
Per l'unicità si vede subito perchè è definito su base {(1,1),(1,-1)} che ha dimensione pari al dominio. E qui ok.
Per gli autovalori io lo metto in matrice direttamente così:
\(\displaystyle \left[\begin{matrix}3 & 9 \\ -1 & -3\end{matrix}\right] \)
e procedo alla maniera tradizionale.
Il problema è che la soluzione è diversa e non l'ho compresa appieno:
in particolare il punto dove trova la matrice.
1 - Quella che ho trovato io non dovrebbe essere la M associata ad f rispetto a B nel dominio e I2 nel codominio?
2 - Due matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse dovrebbero condividere lo stesso polinomio caratteristico e quindi stessi autovalori ed autospazi. Sbaglio o non ci dovrebbe essere bisogno di tutti questi passaggi?
Ho la sensazione che ci sia qualcosa di maledettamente sbagliato in quello che ho studiato
Risposte
Aggiornamento:
da quello che ho capito la M che ho trovato io è giustamente associata a f con B nel dominio e I2 nel codominio.
Si può costruire la M2 da B ad I2 associata all'applicazione identica in questo modo:
1 1
1 -1
Invertendola si trova la M3 che va da I2 a B
Facendo M3 x M si trova la M associata ad f con B sia nel dominio che codominio (ovvero come nella soluzione).
Io sapevo che due matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse condividono lo stesso polinomio caratteristico ma non è questo il caso.
Qualche anima gentile potrebbe darmi delucidazioni?
aggiornamento 2: forse la risposta è che NON sono associate allo stesso endomorfismo?
da quello che ho capito la M che ho trovato io è giustamente associata a f con B nel dominio e I2 nel codominio.
Si può costruire la M2 da B ad I2 associata all'applicazione identica in questo modo:
1 1
1 -1
Invertendola si trova la M3 che va da I2 a B
Facendo M3 x M si trova la M associata ad f con B sia nel dominio che codominio (ovvero come nella soluzione).
Io sapevo che due matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse condividono lo stesso polinomio caratteristico ma non è questo il caso.
Qualche anima gentile potrebbe darmi delucidazioni?
aggiornamento 2: forse la risposta è che NON sono associate allo stesso endomorfismo?
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