Dubbio applicazioni lineari

[HeroGian]

Ragazzi ho bisogno di un aiuto riguardo il seguente esercizio:
sia $f:RR^4->RR^4$ un'applicazione lineare tale che

$f(1, 1, 0, 0) = (-2, 4, -2, 0)$
$f(0, 0, 0, 1) = (2, -1, 1, 5)$
$f(2, 0, 1, 0) = (2, 1, 1, 0)$
$f(0, 0, -1, 0) = (-2, 1, -3, 0)$

Trovare l'immagine del vettore $(2, 3, -3, 4)$

Inizialmente trovo che (1,1,0,0), (0,0,0,1), (2,0,1,0), (0,0,−1,0) sono una base di $RR^4$ e determino la matrice associata alla funzione rispetto alle basi canoniche di $RR^4$

$M = ((-2, 2, 2, -2),(4, -1, 1, 1),(-2, 1, 1, -3),(0, 5, 0, 0))$

quindi $f(x, y, z, t) = (-2x +2y +2z -2t, 4x -y +z +t, -2x +y +z -3t, 5y)$

quindi $f(2, 3, -3, 4) = ( -12, 6, -16, 20 )$ che non coincide con il risultato.

potreste spiegarmi dove sbaglio??

[ciampax]

Se sai che quei quattro vettori sono una base, allora puoi scrivere il vettore fissato come combinazione lineare di essi. Infine, l'immagine di tale vettore è data dalla combinazione lineare dei vettori di base. (senza passare per le basi canoniche, anche perché avresti dovuto determinare la matrice di cambiamento di base).

[HeroGian]

Ho capito il fatto dalle combinazioni lineari..
ma come mai mi serve la matrice del cambiamento di base?? non posso scrivermi direttamente le equazioni della f rispetto alla base data per il dominio e rispetto alla base canonica di $RR^4$??
Dato che è un endomorfismo per scrupolo ho anche scritto la matrice rispetto alla stessa base data, ma non mi viene comunque.. non capisco