Dubbi teorici su applicazioni lineari
Salve a tutti, mi sono ritrovato davanti questo esercizio molto semplice, al seguito del quale mi è sorto un dubbio.
Vi propongo la traccia
Sia T:R^2--->R^3 l'applicazione lineare definita da T(x,y)=(x+y, 2x, x-y)
A questo punto mi chiede di calcolare la dimensione di T, la dimensione del nucleo di T e la sua base, e la dimensione dell'immagine di T con relativa base.
Io ho proceduto in questo modo.
Ho riportato nella matrice l'espressione dell'applicazione secondo la seguente:
$((1,1,0),(2,0,0),(1,-1,0))$
dove l'ultima colonna rappresenta le soluzioni del sistema omogeneo associato all'applicazione per trovare il nucleo...(non sapevo come fare la sbarra, per separare le incognite dalle soluzioni)
A questo punto riducendo la matrice a gradini, ottengo:
$((1,1,0),(0,-2,0),(0,-2,0))$
che a sua volta sarebbe uguale a:
$((1,1,0),(0,1,0),(0,0,0))$
-il rango della matrice è 2 quindi ne deduco che la dimensione di T è appunto 2
-mentre le immagini sono i vettori colonna che rappresentano la matrice.
Fin qui tutto ok.
Il dubbio sorge ora:
Sul mio libro c'è scritto che la dim(Ker(T))= n- rg(A) dove n=dim(V) -che in questo caso è R^2-
Però successivamente trova che la base del ker(t) è il vettore (0,0).
Allora io non ho capito una cosa. Se dovessi seguire il primo teorema ovvero che la dim(Ker(T))= n- rg(A) sostituendo otterrei:
dim(Ker(T))= 2- 2= 0
Però il libro mi trova il vettore nullo come base del nucleo, e credo che il vettore nulla in termini di dimensione di nucleo sia comunque un vettore, cioè che la dimensione dovrebbe essere 1 e non 0, salvo appunto che tale vettore non lo si consideri come un vettore (questo lo vorrei capire gentilmente).
Altro dubbio teorico.
-Sul libro viene riportato che la dim(Im(T))= rg(A). Ma per quanto ho studiato io il rg(A) è anche (uguale) =dim(T) quindi per la proprietà transitiva dim(Im(T)=dim(T)? (questo è il secondo dubbio)
-Stessa cosa per quanto riguarda l'immagine, il libro riporta B(Im(T)= colonne linearmente indipendenti di A.
Quando però io facevo gli esercizi sugli spazi vettoriali e i sottospazi, le colonne linearmente indipendenti rappresentavano la B(T).
Probabilmente ho un po' di confusione in testa, spero possiate, aiutarmi a capire questi dettagli. Grazie mille in anticipo, spero di essere stato il più chiaro possibile
Vi propongo la traccia
Sia T:R^2--->R^3 l'applicazione lineare definita da T(x,y)=(x+y, 2x, x-y)
A questo punto mi chiede di calcolare la dimensione di T, la dimensione del nucleo di T e la sua base, e la dimensione dell'immagine di T con relativa base.
Io ho proceduto in questo modo.
Ho riportato nella matrice l'espressione dell'applicazione secondo la seguente:
$((1,1,0),(2,0,0),(1,-1,0))$
dove l'ultima colonna rappresenta le soluzioni del sistema omogeneo associato all'applicazione per trovare il nucleo...(non sapevo come fare la sbarra, per separare le incognite dalle soluzioni)
A questo punto riducendo la matrice a gradini, ottengo:
$((1,1,0),(0,-2,0),(0,-2,0))$
che a sua volta sarebbe uguale a:
$((1,1,0),(0,1,0),(0,0,0))$
-il rango della matrice è 2 quindi ne deduco che la dimensione di T è appunto 2
-mentre le immagini sono i vettori colonna che rappresentano la matrice.
Fin qui tutto ok.
Il dubbio sorge ora:
Sul mio libro c'è scritto che la dim(Ker(T))= n- rg(A) dove n=dim(V) -che in questo caso è R^2-
Però successivamente trova che la base del ker(t) è il vettore (0,0).
Allora io non ho capito una cosa. Se dovessi seguire il primo teorema ovvero che la dim(Ker(T))= n- rg(A) sostituendo otterrei:
dim(Ker(T))= 2- 2= 0
Però il libro mi trova il vettore nullo come base del nucleo, e credo che il vettore nulla in termini di dimensione di nucleo sia comunque un vettore, cioè che la dimensione dovrebbe essere 1 e non 0, salvo appunto che tale vettore non lo si consideri come un vettore (questo lo vorrei capire gentilmente).
Altro dubbio teorico.
-Sul libro viene riportato che la dim(Im(T))= rg(A). Ma per quanto ho studiato io il rg(A) è anche (uguale) =dim(T) quindi per la proprietà transitiva dim(Im(T)=dim(T)? (questo è il secondo dubbio)
-Stessa cosa per quanto riguarda l'immagine, il libro riporta B(Im(T)= colonne linearmente indipendenti di A.
Quando però io facevo gli esercizi sugli spazi vettoriali e i sottospazi, le colonne linearmente indipendenti rappresentavano la B(T).
Probabilmente ho un po' di confusione in testa, spero possiate, aiutarmi a capire questi dettagli. Grazie mille in anticipo, spero di essere stato il più chiaro possibile
Risposte
allora per quanto riguarda il kernel il vettore nullo ha dimesione 0 (significa che non esistono vettori tali che la loro immagine sia 0)! anche perchè altrimenti l immagine non può mai avere dimensione massima....
La dimensione dell immagine di un applicazione lineare è il rango della matrice associata... che il rango di A sia uguale alla dim (T) questo è falso ma è vero solo che il rk(A)= dim (Im(T)).
La dimensione dell immagine di un applicazione lineare è il rango della matrice associata... che il rango di A sia uguale alla dim (T) questo è falso ma è vero solo che il rk(A)= dim (Im(T)).
la matrice associata alla trasformazione dovrebbe essere $((1,1),(2,0),(1,-1))$ perché devi trovare le componenti della base canonica di $RR^2$ rispetto alla base canonica di $RR^3$.
Il sottospazio vettoriale fatto dal solo vettore nullo ha dimensione $0$
PS. cosa intendi per "dimensione di un'applicazione"?
Il sottospazio vettoriale fatto dal solo vettore nullo ha dimensione $0$
PS. cosa intendi per "dimensione di un'applicazione"?
scusate se io ho uno spazio vettoriale "V" a cui associo una matrice "A" composta dai relativi vettori, la dimensione di V non sarà uguale al rango di "A" ?. Questo in riferimento a quanto detto su
non ho capito cosa chiedi all inizio! Quella che hai è un applicazione lineare da $RR^2$ a $RR^3$ perché associa un vettore di uno spazio a 2 dimensioni ad uno in uno spazio a 3 dimensioni.
La dimensione di un un sottospazio è, in termini matriciali, il numero di colonne linearmente indipendenti.
Quindi ad esempio se il kernel fosse costituito da 2 vettori linearmente indipendenti avrebbe dimensione 2.... poi la dimensione di un applicazione non si può definire ma si può definire la dimensione del suo nucleo e della sua immagine!
quindi se per esempio avessi una matrice di 4 righe e 4 colonne e questa avesse rango 3 significa che la tua applicazione lineare di partenza $f$ ha dim($Im(f)$)=3 quindi $Im(f)=<(v_1), (v_2), (v_3)>$
La dimensione di un un sottospazio è, in termini matriciali, il numero di colonne linearmente indipendenti.
Quindi ad esempio se il kernel fosse costituito da 2 vettori linearmente indipendenti avrebbe dimensione 2.... poi la dimensione di un applicazione non si può definire ma si può definire la dimensione del suo nucleo e della sua immagine!
quindi se per esempio avessi una matrice di 4 righe e 4 colonne e questa avesse rango 3 significa che la tua applicazione lineare di partenza $f$ ha dim($Im(f)$)=3 quindi $Im(f)=<(v_1), (v_2), (v_3)>$
ok ora ho capito, chiedo scusa per l'essere stato poco chiaro. Ora ho compreso, grazie mille e scusate ancora
Figurati! Anzi se hai ancora domande chiedi pure! 
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