Dubbi sulla formula di Grassmann
Salve, a breve avrò un esame di geometria e dunque sto facendo pratica utilizzando un libro dove vi sono dei quiz per potersi allenare, solo che alcuni seppur spiegati mi sono ancora incomprensibili.
Dunque ecco il testo
Sia \(\displaystyle \mathrm{V} \) un sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \)
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a)Esiste un sottospazio \(\displaystyle \mathrm{W} \subseteq \mathbb{R}^3 \) tale che \(\displaystyle dim( \mathrm{V + W}) = dim(W) \)
allora se suppongo che \(\displaystyle \mathrm{V = W} \) posso dire che la a è giusta perchè la somma tra \(\displaystyle dim( \mathrm{V) - dim(V \cap W)} \) diventa 0 e quindi mi rimane solo \(\displaystyle dim( \mathrm{V + W}) = dim(W) \) ?
b) Se \(\displaystyle dim( \mathrm{V}) = 2 \), esiste un sotto spazio \(\displaystyle \mathrm{W} \subseteq \mathbb{R}^3 \) con \(\displaystyle dim( \mathrm{W}) = 2 \) tale che \(\displaystyle dim(\mathrm{V \cap W)} \) contenga un solo vettore.
qui non so proprio cosa pensare. Con un solo vettore si può intendere il solo vettore nullo? Ma in tal caso sarebbero sottospazi differenti.
c) Esiste un sottospazio \(\displaystyle \mathrm{W} \subseteq \mathbb{R}^3 \) tale che \(\displaystyle dim(\mathrm{V \cap W)} \) sia vuoto.
Questo è impossibile perchè so che deve contenere almeno il vettore nullo.
d) Per ogni sottospazio \(\displaystyle \mathrm{W} \subseteq \mathbb{R}^3 \) l'insieme \(\displaystyle dim(\mathrm{V \cap W)} \) contiene infiniti vettori.
Se \(\displaystyle \mathrm{W} = (0,0,0) \), l'intersezione sarebbe data dal vettore nullo giusto? Quindi in tal caso non potrebbe contenere infiniti vettori.
Queste sono le conclusioni che bene o male sono riuscita a cavare, però trovo ancora molte difficoltà ad utilizzare questa formula per rispondere a queste domande, spero possiate chiarirmi le idee.
Dunque ecco il testo
Sia \(\displaystyle \mathrm{V} \) un sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \)
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a)Esiste un sottospazio \(\displaystyle \mathrm{W} \subseteq \mathbb{R}^3 \) tale che \(\displaystyle dim( \mathrm{V + W}) = dim(W) \)
allora se suppongo che \(\displaystyle \mathrm{V = W} \) posso dire che la a è giusta perchè la somma tra \(\displaystyle dim( \mathrm{V) - dim(V \cap W)} \) diventa 0 e quindi mi rimane solo \(\displaystyle dim( \mathrm{V + W}) = dim(W) \) ?
b) Se \(\displaystyle dim( \mathrm{V}) = 2 \), esiste un sotto spazio \(\displaystyle \mathrm{W} \subseteq \mathbb{R}^3 \) con \(\displaystyle dim( \mathrm{W}) = 2 \) tale che \(\displaystyle dim(\mathrm{V \cap W)} \) contenga un solo vettore.
qui non so proprio cosa pensare. Con un solo vettore si può intendere il solo vettore nullo? Ma in tal caso sarebbero sottospazi differenti.
c) Esiste un sottospazio \(\displaystyle \mathrm{W} \subseteq \mathbb{R}^3 \) tale che \(\displaystyle dim(\mathrm{V \cap W)} \) sia vuoto.
Questo è impossibile perchè so che deve contenere almeno il vettore nullo.
d) Per ogni sottospazio \(\displaystyle \mathrm{W} \subseteq \mathbb{R}^3 \) l'insieme \(\displaystyle dim(\mathrm{V \cap W)} \) contiene infiniti vettori.
Se \(\displaystyle \mathrm{W} = (0,0,0) \), l'intersezione sarebbe data dal vettore nullo giusto? Quindi in tal caso non potrebbe contenere infiniti vettori.
Queste sono le conclusioni che bene o male sono riuscita a cavare, però trovo ancora molte difficoltà ad utilizzare questa formula per rispondere a queste domande, spero possiate chiarirmi le idee.
Risposte
Per la a) non c'è bisogno di tirare in ballo la formula di Grassmann. Infatti se $V = W$ hai che $V + W = V$. Quindi è banalmente vera.
b) la formula di Grassmann ti dice che la dimensione dell'intersezione di due piani vettoriali è $\ge 1$. Quindi è falsa.
c) , d) vanno bene.
b) la formula di Grassmann ti dice che la dimensione dell'intersezione di due piani vettoriali è $\ge 1$. Quindi è falsa.
c) , d) vanno bene.
Alle volte, con intersezione vuota, con abuso di linguaggio come hai detto tu, si intende che abbia intersezione il solo \(\{ 0 \}\). Io preferisco intersezione banale.
In (a) hai detto tutto perfetto. In realtà è vero per ogni \(V\subseteq W \subseteq \mathbb{R}^3\) quindi avrei considerato questo caso più generico. Infatti anche in questo caso avevi \(V\cap W = V\).
In (b) è falso. Infatti ogni sottospazio non banale ha infiniti elementi. Risulta che \(\displaystyle \dim(V\cap W) = \dim(V) + \dim(W) - \dim(V+W)\ge 2+2-3 = 1 \). Perciò \(\displaystyle V\cap W \) è un sottospazio di dimensione almeno \(\displaystyle 1 \) e quindi contiene infiniti elementi.
In (c), se con intersezione vuota, come è comune, ci si dimentica di \(\{ 0 \}\) allora è vero. Mentre è falso altrimenti.
In (d), a parte il sottospazio banale, va bene ogni spazio del tipo \(\mathbb{R}(\mathbf{v}+\mathbf{w})\) dove \(\mathbf{v}\in V\) e \(\mathbf{w}\) è un elemento fissato linearmente indipendente con \(V\). Si noti che questo completa ogni spazio con intersezione banale. La notazione \(\mathbb{R}\mathbf{v}\) è un modo per indicare il sottospazio generato da \(\displaystyle \mathbf{v} \).
In (a) hai detto tutto perfetto. In realtà è vero per ogni \(V\subseteq W \subseteq \mathbb{R}^3\) quindi avrei considerato questo caso più generico. Infatti anche in questo caso avevi \(V\cap W = V\).
In (b) è falso. Infatti ogni sottospazio non banale ha infiniti elementi. Risulta che \(\displaystyle \dim(V\cap W) = \dim(V) + \dim(W) - \dim(V+W)\ge 2+2-3 = 1 \). Perciò \(\displaystyle V\cap W \) è un sottospazio di dimensione almeno \(\displaystyle 1 \) e quindi contiene infiniti elementi.
In (c), se con intersezione vuota, come è comune, ci si dimentica di \(\{ 0 \}\) allora è vero. Mentre è falso altrimenti.
In (d), a parte il sottospazio banale, va bene ogni spazio del tipo \(\mathbb{R}(\mathbf{v}+\mathbf{w})\) dove \(\mathbf{v}\in V\) e \(\mathbf{w}\) è un elemento fissato linearmente indipendente con \(V\). Si noti che questo completa ogni spazio con intersezione banale. La notazione \(\mathbb{R}\mathbf{v}\) è un modo per indicare il sottospazio generato da \(\displaystyle \mathbf{v} \).
Grazie mille davvero, ora ho dissolto i miei dubbi in argomento. Vi ringrazio per la disponibilità!
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