Dubbi sul teorema della dimensione

[fabioz96]

Salve,
il teorema della dimensione dice che:

[size=150]dim(Ker(T)) + dim(Im(x)) = dim(X)[/size]

dove T è la trasformazione lineare e X è il dominio, mentre Y il codominio

Il mio professore ha detto che la Trasformazione è iniettiva se il nucleo contiene solo l'elemento neutro e quindi:

[size=150]dim(Ker(T)) = 0

[/size]

Da qui si ha che:

[size=150]dim (X) $<=$ dim (Y)

[/size]

Ha detto inoltre che è suriettiva se:

[size=150]dim (X) $>=$ dim (Y)

[/size]



Qualcuno può spiegarmi perché valgono queste disuguaglianze?
Esiste un modo grafico per rappresentare, e quindi capire meglio, le trasformazioni lineari?

[Werner1]

Se $X$ ha dimensione $n$ e $Y$ ha dimensione $m$ consideriamo i seguenti casi
$n Qui se $dim(Ker(X))=0$ allora ogni elemento di $X$ viene mappato in un elemento di $Y$, $Im(X)$ è un sottospazio di $Y$ di dimensione $n$. L'applicazione è iniettiva, ma non è suriettiva, infatti prendiamo una base su $Y$ e una base su $Im(X)$, essendo $dim(Im(X)) $m>n$
Qui se $dim(Im(X))=Y$ allora ogni elemento di $Y$ ammette preimmagine in un elemento di $X$, $Im(X)$ è un sottospazio di $Y$ di dimensione $m$, cioè $Y$ stesso. L'applicazione è quindi suriettiva, ma non inietiva infatti prendiamo una base su $X$ e una base su $Im(X)$, essendo $dim(Im(X)) $n=m$
qui se $dim(Ker(X))=0$ allora, per quello detto prima l'applicazione è iniettiva e suriettiva, quindi è un isomorfismo

Per il metodo grafico ti conviene provare a disegnare degli insiemi tipo

[fabioz96]

Grazie della tua risposta.

Potresti spiegarmi in modo più elementare possibile che cos'è il nucleo?
Capisco la definizione per cui:

[size=150]

$Ker(T) = {x in X : T(x) = 0_y}$

[/size]

x è un vettore, mentre X è lo spazio lineare che lo contiene.

Non riesco ad immaginare, anche graficamente, cosa possa essere.
Potresti gentilmente usare qualche esempio pratico o qualche disegno?
Grazie

[Werner1]

Prendiamo il piano $R^2$ e consideriamo la applicazione $f(x,y)=x$ da tutto $R^2$ in $R$, ora questa applicazione non è iniettiva, ma è suriettiva. Infatti $Ker(f)={(x,y) \in R^2 : x=0}$, tutti i vettori che hanno solo componente y sono mappati nel vettore nullo su $R$, questo è il Kernell della tua applicazione. La suriettività è banale infatti ogni elemento di $R$ ammette controimmafine $f^{-1} (x)=(x,y)$ per ogni $y$ in $R$
Se vuoi un disegno vedi questo

http://postimg.org/image/5def953cf

[fabioz96]

Quindi se non ho capito male, tutti i vettori di $X$ che dopo la trasformazione sono uguali a $0$, fanno parte del nucleo.

Cioè, facendo finta di essere sul piano cartesiano, e di avere la retta $y=2x$, il kernel sarebbe la sola $x=0$; perché sostituendo si ottiene che $y=0$.
Tutto corretto?

[Werner1]

No, qui stati dicendo che l'immagine del vettore nullo è il vettore nullo, cosa sempre vera, per vedere una mappa il cui Kernel sia non nullo considera
$$T=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
L'immagine di \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} è sempre $0$, quindi $$Ker(T)={\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}}$$