Dubbi sul polinomio minimo e su teorema di Clayley-Hamilton

[Angus1956]

Cominciamo enunciando un corollario e un teorema:
Il primo riguarda il fatto che gli autovalori sono le radici del polinomio minimo: la dimostrazione è semplice ma c'è un punto che non mi è chiaro, allora innanzitutto abbiamo un paio di uguaglianze molto semplici (chiamato $q_f$ il polinomio minimo e $v$ un autovettore relativo all'autovalore $λ$): $0=q_(f)(f)(v)=q_(f)(λ)*v$ fin qui tutto apposto. Ora l'ultimo passaggio sarebbe $q_(f)(λ)=0$, ma questo viene dal fatto che $q_(f)(λ)*v$ è una moltiplicazione e siccome $v!=0$ poichè autovettore?
Invece per il teorema si tratta di quello di Clayley-Hamilton: il polinomio caratteristico di $f$ si annulla se calcolato in $f$. Ci sono molte dimostrazione in merito ma ve ne dico una (fatta dal mio professore) e vorrei capire se l'ho capita bene:
Procedo per induzione su $dimV=n$. Se $n=1$ è verificato. Ora sia $finEnd(V)$ e prendiamo la matrice compagna $A$ di $f$, abbiamo che il polinomio caratteristico di $A$ è $p_A(x)=(-1)^k(x^k-a_1x^(k-1)-...-a_k)$ con $k

Quindi il polinomio caratteristico di $f$ è $p_(f)(x)=(-1)^k(x^k-a_1x^(k-1)-...-a_k)p_B(x)$ da cui $p_(f)(f)=(-1)^k(f^k-a_1f^(k-1)-...-a_kI)p_B(f)=0$.

[j18eos]

[xdom="j18eos"]I titoli generici non sono consentiti per regolamento.

Ti invito a modificare il titolo, rendendolo più chiaro.

Grazie della collaborazione. [/xdom]

[Angus1956]

"j18eos":[xdom="j18eos"]I titoli generici non sono consentiti per regolamento.

Ti invito a modificare il titolo, rendendolo più chiaro.

Grazie della collaborazione. [/xdom]

In teoria l'ho fatto generico in modo da poter scrivere tutto ciò che non mi è chiaro di teoremi lemmi corollari o altro di geometria, senza fare mille forum ogni volta, però se sono costretto allora faccio come hai detto tu.

[Angus1956]

"andreadel1988":Cominciamo enunciando un corollario e un teorema:
Il primo riguarda il fatto che gli autovalori sono le radici del polinomio minimo: la dimostrazione è semplice ma c'è un punto che non mi è chiaro, allora innanzitutto abbiamo un paio di uguaglianze molto semplici (chiamato $q_f$ il polinomio minimo e $v$ un autovettore relativo all'autovalore $λ$): $0=q_(f)(f)(v)=q_(f)(λ)*v$ fin qui tutto apposto. Ora l'ultimo passaggio sarebbe $q_(f)(λ)=0$, ma questo viene dal fatto che $q_(f)(λ)*v$ è una moltiplicazione e siccome $v!=0$ poichè autovettore?
Invece per il teorema si tratta di quello di Clayley-Hamilton: il polinomio caratteristico di $f$ si annulla se calcolato in $f$. Ci sono molte dimostrazione in merito ma ve ne dico una (fatta dal mio professore) e vorrei capire se l'ho capita bene:
Procedo per induzione su $dimV=n$. Se $n=1$ è verificato. Ora sia $finEnd(V)$ e prendiamo la matrice compagna $A$ di $f$, abbiamo che il polinomio caratteristico di $A$ è $p_A(x)=(-1)^k(x^k-a_1x^(k-1)-...-a_k)$ con $k

Quindi il polinomio caratteristico di $f$ è $p_(f)(x)=(-1)^k(x^k-a_1x^(k-1)-...-a_k)p_B(x)$ da cui $p_(f)(f)=(-1)^k(f^k-a_1f^(k-1)-...-a_kI)p_B(f)=0$.

Mi serve solo sapere se va bene quello che ho scritto

[dissonance]

Sul motivo per cui $p(\lambda)=0$ è come dici tu, $v\ne 0$ per definizione.

Quanto a CAYLEY-Hamilton (non si dice Claley), non so cosa intendi per "matrice compagna" di un endomorfismo. Al paese mio la matrice compagna è una matrice che ha un dato polinomio come polinomio caratteristico.

[Angus1956]

"dissonance": Al paese mio la matrice compagna è una matrice che ha un dato polinomio come polinomio caratteristico.

Si, esatto