Dubbi sul piano proiettivo

[JackPirri]

Ciao, volevo farvi alcune domande sul piano proiettivo.Innanzitutto volevo sapere se le coordinate omogenee di un punto si usano solo nel piano proiettivo.E poi non mi è chiaro perchè due rette nel piano proiettivo hanno sempre un punto (eventualmente improprio) in comune.Ho capito perchè due rette parallele si incontrano nello stesso punto improprio (perchè hanno la stessa direzione).Grazie.

[JackPirri]

Un’altra cosa: se nello spazio un fascio di rette improprio non ha nessun punto in comune, nel piano proiettivo le infinite rette del fascio si incontrano nel punto improprio che indica la direzione comune a tutte le rette del fascio?

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Ciao, le coordinate omogenee si usano in qualsiasi spazio proiettivo, non solo nel piano proiettivo.

Due rette si incontrano sempre perché se hai un sistema omogeneo (ciascuna equazione rappresentando una retta nel piano proiettivo)

$a_0x_0+a_1x_1+a_2x_2=0$
$b_0x_0+b_1x_1+b_2x_2=0$

allora esiste una soluzione $(x_0,x_1,x_2) ne (0,0,0)$ perché è un sistema con due equazioni e tre incognite. Se le due equazioni rappresentano due rette distinte il rango della matrice associata è 2 (vedi il teorema di Rouché-Capelli).

Sulla domanda sul fascio di rette, la risposta è sì.

[JackPirri]

Grazie.Una domanda:non ho capito l’equazione che hai usato per indicare una retta di che tipo è e dove si usa.Conosco come si indica una retta nello spazio (sistema di equazioni cartesiane) e nel piano (ax+by+c=0) ma questo tipo di equazione no.

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I sottospazi proiettivi sono (per definizione) definiti da sistemi di equazioni lineari omogenee. È proprio la definizione di sottospazio proiettivo. Le rette nel piano proiettivo sono particolari sottospazi proiettivi.

[JackPirri]

Grazie.Posso comunque ,nel piano proiettivo,indicare una retta semplicemente riscrivendono l’equazione implicita in coordinate omogenee, vero?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Sì