Dubbi sui campi
Nella prima lezione di un corso di algebra, non sono riuscito a capire un paio di passaggi fatti dal mio professore:
1- Per definire la caratteristica di un campo $K$, si introduce la funzione $phi : ZZ to K$ definita come $phi(n) = 1 + 1 + 1 +...+1$($n$ volte). Allora il professore dice che se $phi$ è iniettiva, la caratteristica di $K$ è $0$; se $phi$ è non iniettiva, allora il nucleo di $phi$ è non banale e la caratteristica è pari al più piccolo intero positivo che stia nel nucleo di $phi$.
Il fatto che $phi$ non iniettiva implichi che il nucleo di $phi$ sia non banale, se non ricordo male, è legato a una caratterizzazione delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Ma qui abbiamo costruito una funzione $phi$ tra un gruppo e un campo, non tra spazi vettoriali. Inoltre, non trattandosi di spazi vettoriali, è anche difficile parlare di linearità. Come si spiega la faccenda?
2- In una dimostrazione, il professore dice che se $p$ è la caratteristica di un campo finito $K$, allora $phi : ZZ_p to K$ è iniettiva ed è un'immersione, da ciò segue che possiamo vedere $K$ come spazio vettoriale su $ZZ_p$. Qui mi sono perso, non ho affatto capito perché si sia messo in risalto che $phi$ sia un'immersione, né come questa osservazione si leghi alla possibilità di vedere $K$ come spazio vettoriale su $ZZ_p$.
1- Per definire la caratteristica di un campo $K$, si introduce la funzione $phi : ZZ to K$ definita come $phi(n) = 1 + 1 + 1 +...+1$($n$ volte). Allora il professore dice che se $phi$ è iniettiva, la caratteristica di $K$ è $0$; se $phi$ è non iniettiva, allora il nucleo di $phi$ è non banale e la caratteristica è pari al più piccolo intero positivo che stia nel nucleo di $phi$.
Il fatto che $phi$ non iniettiva implichi che il nucleo di $phi$ sia non banale, se non ricordo male, è legato a una caratterizzazione delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Ma qui abbiamo costruito una funzione $phi$ tra un gruppo e un campo, non tra spazi vettoriali. Inoltre, non trattandosi di spazi vettoriali, è anche difficile parlare di linearità. Come si spiega la faccenda?
2- In una dimostrazione, il professore dice che se $p$ è la caratteristica di un campo finito $K$, allora $phi : ZZ_p to K$ è iniettiva ed è un'immersione, da ciò segue che possiamo vedere $K$ come spazio vettoriale su $ZZ_p$. Qui mi sono perso, non ho affatto capito perché si sia messo in risalto che $phi$ sia un'immersione, né come questa osservazione si leghi alla possibilità di vedere $K$ come spazio vettoriale su $ZZ_p$.
Risposte
Strano che non ti abbia ancora risposto nessuno, forse perché questa domanda starebbe meglio nella sezione di Algebra? Comunque dico la mia sulla prima: il tuo professore usa il risultato secondo cui una applicazione $phi: G \to G'$ tra due gruppi che sia anche omomorfismo di gruppi è ingettiva se e solo se ha il nucleo ridotto al solo elemento neutro.
Un caso particolare di questa proposizione si ha per applicazioni lineari tra spazi vettoriali: ogni spazio vettoriale è infatti un gruppo rispetto alla somma e una applicazione lineare è in particolare un omomorfismo di gruppi.
Un caso particolare di questa proposizione si ha per applicazioni lineari tra spazi vettoriali: ogni spazio vettoriale è infatti un gruppo rispetto alla somma e una applicazione lineare è in particolare un omomorfismo di gruppi.
"dissonance":
Strano che non ti abbia ancora risposto nessuno, forse perché questa domanda starebbe meglio nella sezione di Algebra?
Hai ragione. Infatti successivamente ho fatto una copia del post anche lì.
"dissonance":
Comunque dico la mia sulla prima: il tuo professore usa il risultato secondo cui una applicazione $phi: G \to G'$ tra due gruppi che sia anche omomorfismo di gruppi è ingettiva se e solo se ha il nucleo ridotto al solo elemento neutro.
Un caso particolare di questa proposizione si ha per applicazioni lineari tra spazi vettoriali: ogni spazio vettoriale è infatti un gruppo rispetto alla somma e una applicazione lineare è in particolare un omomorfismo di gruppi.
Ok, questa mi mancava. Grazie mille.
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