Dubbi su varietà paracompatta

[marysax90]

Salve a tutti, nel preparare l'esame di istituzioni di geometria superiore mi è sorto un dubbio relativo alla dimostrazione del teorema:
"Ogni varietà $M$ differenziabile e paracompatta ammette partizioni dell'unità"
Premetto alcune proposizioni utili alla dimostrazione:

Proposizione 1: Consideriamo una varietà differenziabile paracompatta $M$ e $(V_i)_{i in I}$ un suo ricoprimento aperto localmente finito. Allora esiste un ricoprimento aperto $(U_i)_{i in I}$ localmente finito, più fine di $(V_i)_{i in I}$ e tale che $AA$ $i in I$ $\bar{U_i} sub V_i$.

Proposizione 2: Consideriamo una varietà differenziabile paracompatta $M$ e $(V_i)_{i in I}$ un suo ricoprimento aperto localmente finito a chiusura compatta. Allora esiste una partizione dell'unità subordinata a tale ricoprimento.

Proposizione 3: Poiché ogni varietà $M$ è localmente compatta, fissato un ricoprimento aperto $(V_i)_{i in I}$, abbiamo che: $p in M => EE i in I$ t.c. $p in V_i => EE W_p$ aperto t.c. $p in W_p$ e $\bar{W_p} sub V_i $ e $\bar{W_p}$ è compatto.

La dimostrazione di queste premesse, come riportata sulle mie dispense, mi è risultata abbastanza chiara. Vengo ora alla dimostrazione del teorema:
Considero un ricoprimento aperto di $M$, lo chiamo $R=(A_j)_{j in J}$. Per la definizione di paracompattezza esiste un ricoprimento $(V_i)_{i in I}$ aperto localmente finito e più fine di $R$. Nelle dispense viene ora applicata la proposizione 1 che introduce il nuovo ricoprimento $(U_i)_{i in I}$ tale che $\bar{U_i} sub V_i$ per ogni $i$, e viene affermato ciò che segue:$p in M => EE i in I$ t.c. $p in U_i => EE W_i$ aperto t.c. $p in W_i$ e $\bar{W_i} sub U_i $, con $\bar{W_i}$ insieme compatto.
A questo nuovo ricoprimento $(W_i)_{i in I}$ che risulta a chiusura compatta e localmente finito può essere quindi applicata la proposizione 2 che ci dà la tesi.
I miei dubbi sono:
1) Dalle $W_p$ della proposizione 3 che dipendono dalle $p$ come si è passati ad indicizzare gli aperti $W_i$ attraverso lo stesso insieme di indici $I$?
2) Il ruolo del ricoprimento $(U_i)_{i in I}$ quale sarebbe? Non basta la famiglia localmente finita $(V_i)_{i in I}$ ai fini della dimostrazione?

[Alexp1]

Ciao,

1) il motivo è perchè dovrebbero esistere più intorni $W$ di $p$... nella proposizione 3 probabilmente veniva preso in considerazione un intorno specifico identificato con $W_p$

2) se non intendo male è dovuto alla definizione stessa di spazio paracompatto, ossia che ogni ricoprimento aperto di $X$ ammette un raffinamento aperto localmente finito, altrimenti non hai la "paracompattezza"

Sentiamo altri pareri....

[Alexp1]

Ragazzi, qui nessuno aggiunge niente??

[_fabricius_1]

Molto semplicemente la dimostrazione è sbagliata come buona parte delle dimostrazioni della Pastore.

[marysax90]

@fabricius,

l'esame è passato, i dubbi restano, ma la tua risposta rimane mitica.

[j18eos]

Dato che l'esame è andato: la dimostrazione di quel teorema (di esistenza della partizione liscia dell'unità sulle smooth manifolds) la trovi in qualsiasi libro di geometria differenziale.

[_fabricius_1]

Io risolsi dimostrando una forma più generale del teorema. Premetto il seguente
Lemma Sia M una varietà paracompatta e sia $(U_i)_{i\in I}$ un arbitrario ricoprimento aperto. Allora esiste un ricoprimento aperto e localmente finito $(V_i)_{i \in I}$ (stessi indici) tale che $V_i \subset U_i$.

Per la paracompattezza esiste un raffinamento aperto $(W_\alpha)_{\alpha \in A}$. Per ogni $\alpha$ esiste un indice i tale che $\W_\alpha \subset U_i$, se ne fissa uno e si denota con $i(\alpha)$.
Per ogni indice i sia \( A_i=\{\alpha \in A \mid i(\alpha)=i\} \) e allora basta porre $V_i=\bigcup_{\alpha \in A_i}W_\alpha \subset U_i$.
I $V_i$ sono aperti, e sono un ricoprimento perché $\bigcup_{i \in I} V_i = \bigcup_{\alpha in A} W_\alpha = M $.
Infine sia P un punto di M. Si ha che $P\cap W_\alpha = \emptyset$ con eccezioni finite, diciamo $\alpha_1, ..., \alpha_n$. Allora se $P\cap V_i \ne \emptyset $ vuol dire che $V_i$ contiene almeno uno tra $W_{\alpha_1}, ... , W_{\alpha_n}$, quindi i deve assumere uno tra finiti valori (non necessariamente distinti) $i(\alpha_1),...,i(\alpha_n)$. E ciò prova la finitezza locale.

Segue il
Teorema Sia M una varietà paracompatta e sia $(U_i)_{i\in I}$ un arbitrario ricoprimento aperto. Allora esiste una partizione dell'unità $(f_i)_{i\in I}$ (stessi indici) subordinata al ricoprimento (nel senso che \( \mathcal{Supp}(f_i)\subset U_i\) ).

Sia $(U'_i)_{i\in I}$ il ricoprimento localmente finito fornito dal lemma, $U'_i \subset U_i$.
Per ogni $p\in M$ fissiamo un $i(p) \in I$ tale che $p\in U'_{i(p)}$. Esiste un aperto a chiusura compatta $W_p$ tale che \( p\in W_p \subset \overline{W}_p \subset U_{i(p)} \).
Ora $(W_p)_{p\in M}$ è un ricoprimento aperto a chiusura compatta, applicando di nuovo il lemma si ottiene un ricoprimento aperto a chiusura compatta e localmente finito $ (W'_p)_{p\in M} $ tale che $W'_p \subset W_p $.
Per la già citata proposizione 2 esiste una partizione dell'unità $(g_p)_{p\in M} $ subordinata a $(W'_p)_{p\in M}$.
A questo punto, posto per ogni i \(M_i=\{p\in M \mid i(p)=i\}\), la partizione dell'unità cercata è $(f_i)_{i\in I}$ ove
\[ f_i= \sum_{p\in M_i} g_p. \] Le $f_i$ sono chiaramente ben definite ed è facile verificare che sono differenziabili (fissato un punto esiste un intorno del punto per cui la somma si riduce a una somma finita), comprese tra 0 ed 1 e che la loro somma sia 1.
Inoltre poiché \( (\mathcal{Supp}(g_p))_{p\in M} \) è un ricoprimento, e poiché \(\mathcal{Supp}(g_p) \subset \mathcal{Supp}(f_{i(p)}) \) anche \( (\mathcal{Supp}(f_i))_{i \in I}\) è un ricoprimento.
Inoltre \[ \mathcal{Supp}(f_i)=\overline{ \{x\in M \mid f_i (x) \ne 0 \} } = \overline{ \bigcup_{p\in M_i} \{x\in M \mid g_p(x)\ne 0 \} } \subset \overline{ \bigcup_{p\in M_i} \mathcal{Supp}(g_p) } \\ =\bigcup_{p\in M_i} \mathcal{Supp}(g_p) \subset \bigcup_{p\in M_i} W'_p \subset U'_i. \]
Ciò prova a un tempo che \( (\mathcal{Supp}(f_i))_{i\in I} \) è un ricoprimento localmente finito (poiché $(U'_i)_{i \in I}$ lo è) e che è subordinato a $(U_i)_{i \in I}$.