Dubbi su teoria Applicazioni Lineari
Ho un problema sulla teoria delle applicazioni lineari, prendo un esempio.
Sia $ L:R^3->R^3 $ un'applicazione lineare. Stabilire quale tra le seguenti affermazioni e' sempre vera, sapendo che $ L( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) =( ( 1 ),( 2 ),( 1 ) ) $ e $ L( ( 1 ),( 1 ),( -1 ) ) =( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $
1. 0 appartiene a Im L
2. Span(e2) $ sub $ Im L
3. dim Im L = 2
4. L e' iniettiva
Non ho la piu' pallida idea di come poterle verificare, solitamente avrei scritto la matrice associata pero' non so se devo farla con i vettori della base canonica oppure se ci sono altri modi per verificare le richieste.
Per i primi due punti non ho le idee chiarissime mentre per la terza, se potessi scrivere la matrice associata, mi basterebbe verificare che il rango della matrice associata sia 2 e quindi la dimensione dell'immagine di L sarebbe due; per la quarta invece so che L e' iniettiva se dim Ker L = 0 ma in questo caso affinche sia 0 la dim Im L dovrebbe essere 3.
Come faccio a verificare il rango se non posso scrivere la matrice associata?
Sia $ L:R^3->R^3 $ un'applicazione lineare. Stabilire quale tra le seguenti affermazioni e' sempre vera, sapendo che $ L( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) =( ( 1 ),( 2 ),( 1 ) ) $ e $ L( ( 1 ),( 1 ),( -1 ) ) =( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) $
1. 0 appartiene a Im L
2. Span(e2) $ sub $ Im L
3. dim Im L = 2
4. L e' iniettiva
Non ho la piu' pallida idea di come poterle verificare, solitamente avrei scritto la matrice associata pero' non so se devo farla con i vettori della base canonica oppure se ci sono altri modi per verificare le richieste.
Per i primi due punti non ho le idee chiarissime mentre per la terza, se potessi scrivere la matrice associata, mi basterebbe verificare che il rango della matrice associata sia 2 e quindi la dimensione dell'immagine di L sarebbe due; per la quarta invece so che L e' iniettiva se dim Ker L = 0 ma in questo caso affinche sia 0 la dim Im L dovrebbe essere 3.
Come faccio a verificare il rango se non posso scrivere la matrice associata?
Risposte
Io direi che la 1) è senz'altro vera, in quanto $0=L(0)$ e quindi 0 è immagine di almeno un elemento di $RR^3$.
Provo a rispondere anche alle altre domande
Poniamo $L(e_2)=(x,y,z)$. Ricordiamo il teorema di esistenza ed unicità delle applicazioni lineari
Quindi, per ogni scelta di $(x,y,z)$, esiste un'unica applicazione lineare con le condizioni richieste e alcune sue caratteristiche dipenderanno dalla "scelta" dell'immagine di $e_2$. Per quanto riguarda la 3. ricordiamo questo altro fatto
Dobbiamo quindi trovare la dimensione di $ Span(L(1,1,1),L(1,1,-1),L(0,1,0))=Span((1,2,1),(1,1,1),(x,y,z)$. Ora ci sono più modi di procedere ma di sicuro la dimensione dipende dalla scelta di $(x,y,z)$
La 3. ci permette di rispondere anche alla 4. Sappiamo $L$ è iniettiva se e solo se $ker L={0}$, cioè $ dim ker L=0$. Dal teorema della dimensione, si ricava $dim ker L=3-dim Im L$ e quindi anche la 4. dipende dalla scelta di $(x,y,z)$
Infine, per vedere se $ Span(e_2)$ appartiene a $Im L$, ci basta provare che $e_2\in Im L$, cioè far vedere che $e_2=L(\alpha,\beta,\gamma)$, per qualche $(\alpha,\beta,\gamma)\in \RR^3$. Ora $e_2=(1,2,1)-(1,1,1)=L(1,1,1)-L(1,1,-1)=L(0,0,2)$ e ciò non dipende dalla scelta di $(x,y,z)$
La matrice associata la puoi comunque costruire partendo dal riferimento $R=(v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,-1),v_3=(0,1,0))$ e tidovrebbe uscire
$A=((1,1,\frac{x+z}{2}),(0,0,\frac{x-z}{2}),(1,0,y-x))$
Poniamo $L(e_2)=(x,y,z)$. Ricordiamo il teorema di esistenza ed unicità delle applicazioni lineari
Siano $V,V'$ spazi vettoriali (di dimensione finita), $R=(v_1,...,v_n)$ un riferimento di $V$ e $T={t_1,...,t_n}$ un sistema di $V'$. Esiste allora un'applicazione lineare $L :V->V'$ tale che $L(v_i)=t_i$ per ogni $i=1,...,n$
Quindi, per ogni scelta di $(x,y,z)$, esiste un'unica applicazione lineare con le condizioni richieste e alcune sue caratteristiche dipenderanno dalla "scelta" dell'immagine di $e_2$. Per quanto riguarda la 3. ricordiamo questo altro fatto
Siano $V,V'$ spazi vettoriali (di dimensione finita) e $L :V->V'$ un'applicazione lineare. Considerata una base $B={v_1,...,v_n}$ di $V$, si ha $Im f=Span(L(v_1),...,L(v_n))$
Dobbiamo quindi trovare la dimensione di $ Span(L(1,1,1),L(1,1,-1),L(0,1,0))=Span((1,2,1),(1,1,1),(x,y,z)$. Ora ci sono più modi di procedere ma di sicuro la dimensione dipende dalla scelta di $(x,y,z)$
La 3. ci permette di rispondere anche alla 4. Sappiamo $L$ è iniettiva se e solo se $ker L={0}$, cioè $ dim ker L=0$. Dal teorema della dimensione, si ricava $dim ker L=3-dim Im L$ e quindi anche la 4. dipende dalla scelta di $(x,y,z)$
Infine, per vedere se $ Span(e_2)$ appartiene a $Im L$, ci basta provare che $e_2\in Im L$, cioè far vedere che $e_2=L(\alpha,\beta,\gamma)$, per qualche $(\alpha,\beta,\gamma)\in \RR^3$. Ora $e_2=(1,2,1)-(1,1,1)=L(1,1,1)-L(1,1,-1)=L(0,0,2)$ e ciò non dipende dalla scelta di $(x,y,z)$
La matrice associata la puoi comunque costruire partendo dal riferimento $R=(v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,-1),v_3=(0,1,0))$ e tidovrebbe uscire
$A=((1,1,\frac{x+z}{2}),(0,0,\frac{x-z}{2}),(1,0,y-x))$
Perfetto ho capito, grazie mille
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