Dubbi su sottospazio vettoriale
Buonasera a tutti,
dato il seguente sottospazio vettoriale $W={(x,y,z): x+y=0}$ devo dimostrare che $W$ è un sottospazio e fin qui nessun problema in quanto ho verificato le 3 condizioni affinchè $W$ possa essere definito sottospazio.
Mi vengono ora poste altre domande, la prima delle quali chiede se esistono 3 vettori linearmente indipendenti in $W$.
Ho provato con alcuni vettori ma non sono riuscito a trovarne 3 di linearmente indipendenti. Ora mi chiedo, perchè?
Se qualcuno fosse così gentile da guidarmi in un ragionamento sarebbe gentilissimo.
Saluti.
dato il seguente sottospazio vettoriale $W={(x,y,z): x+y=0}$ devo dimostrare che $W$ è un sottospazio e fin qui nessun problema in quanto ho verificato le 3 condizioni affinchè $W$ possa essere definito sottospazio.
Mi vengono ora poste altre domande, la prima delle quali chiede se esistono 3 vettori linearmente indipendenti in $W$.
Ho provato con alcuni vettori ma non sono riuscito a trovarne 3 di linearmente indipendenti. Ora mi chiedo, perchè?
Se qualcuno fosse così gentile da guidarmi in un ragionamento sarebbe gentilissimo.
Saluti.
Risposte
@Pozzetto,
penso che \( W \subseteq \Bbb{R}^3 \), se ho capito bene a te interessa se esiste un sistema \( \{w_1,w_2,w_3\} \text{ libero}\) ? Se si, allora ti chiedo "quanto vale \( \dim_\Bbb{R}(W)\)?"...
penso che \( W \subseteq \Bbb{R}^3 \), se ho capito bene a te interessa se esiste un sistema \( \{w_1,w_2,w_3\} \text{ libero}\) ? Se si, allora ti chiedo "quanto vale \( \dim_\Bbb{R}(W)\)?"...
Il problema è proprio capire la dimensione del sottospazio vettoriale $W$ essendo che poi da questo valore deduco se possono o meno esistere 3 vettori linearmente indipendenti... 
@Pozzetto,
ok hai focalizzato il metodo di soluzione, per quanto riguarda la \( \dim_\Bbb{R}(W)\) non sei proprio in grado di calcolarla? Prendi un generico vettore \( w \in W \) è cerca di vedere con attenzione come puoi rappresentarlo!
ok hai focalizzato il metodo di soluzione, per quanto riguarda la \( \dim_\Bbb{R}(W)\) non sei proprio in grado di calcolarla? Prendi un generico vettore \( w \in W \) è cerca di vedere con attenzione come puoi rappresentarlo!
Un generico vettore di $W$ lo chiamiamo $v$ ed è rappresentato da $v=(x,-x,z)$, corretto?
@Pozzetto,
esatto, poi? sai continuare? Ricordati che \( v \) è anche una \( 3-\text{upla}\) di \( \Bbb{R}^3 \)...
esatto, poi? sai continuare?
Ricordati che \( v \) è anche una \( 3-\text{upla}\) di \( \Bbb{R}^3 \)...
Purtroppo sono bloccato ora.... 
@Pozzetto,
peccato
.. tu hai $$ W \ni v=(x,y,z)=(x,-x,z)=(x,-x,0)+(0,0,z)=x(1,-1,0)+z(0,0,1)$$ Cosa puoi dire adesso?
peccato
.. tu hai $$ W \ni v=(x,y,z)=(x,-x,z)=(x,-x,0)+(0,0,z)=x(1,-1,0)+z(0,0,1)$$ Cosa puoi dire adesso?
So dire che il generico vettore si può scrivere come combinazione lineare di due vettori...
@Pozzetto,
esatto.. e quindi? Ci sei quasi.. continua!!!
Saluti
P.S. = Se vuoi direttamente la soluzione di calcolo puoi dirmelo, ma vorrei che ci arrivi da solo (comunque CLIC)
esatto.. e quindi?
Ci sei quasi.. continua!!! Saluti
P.S. = Se vuoi direttamente la soluzione di calcolo puoi dirmelo, ma vorrei che ci arrivi da solo (comunque CLIC)
Quindi la dimensione del sottospazio vettoriale è 2...
Lo so che stai cercando di tirarmi fuori le parole con le pinze e NO, LA SOLUZIONE NON mi interessa, altrimenti la prossima volta sono nuovamente al punto di partenza...
Lo so che stai cercando di tirarmi fuori le parole con le pinze e NO, LA SOLUZIONE NON mi interessa, altrimenti la prossima volta sono nuovamente al punto di partenza...
@Pozzetto,
precisamente, hai fatto un volo pindarico
... infatti se \( W \ni v=(x,y,z)=(x,-x,z)=(x,-x,0)+(0,0,z)=x(1,-1,0)+z(0,0,1) \) allora \( v \in \mathscr{L} ((1,-1,0),(0,0,1))\), inoltre \( ((1,-1,0),(0,0,1))\) è libero su \( \Bbb{R} \) ergo, dalla definizione di base e dimensione, \( \dim_\Bbb{R}(W)=2\)...
Comunque, arrivati a questo punto.. applicando la proprietà che prima avevo spoilerato penso ti sei schiarito il dubbio:
Saluti
p.s.=tutto chiaro?
"Pozzetto":
Quindi la dimensione del sottospazio vettoriale è 2...
precisamente, hai fatto un volo pindarico
... infatti se \( W \ni v=(x,y,z)=(x,-x,z)=(x,-x,0)+(0,0,z)=x(1,-1,0)+z(0,0,1) \) allora \( v \in \mathscr{L} ((1,-1,0),(0,0,1))\), inoltre \( ((1,-1,0),(0,0,1))\) è libero su \( \Bbb{R} \) ergo, dalla definizione di base e dimensione, \( \dim_\Bbb{R}(W)=2\)... Comunque, arrivati a questo punto.. applicando la proprietà che prima avevo spoilerato penso ti sei schiarito il dubbio:
"Pozzetto":
Ho provato con alcuni vettori ma non sono riuscito a trovarne 3 di linearmente indipendenti. Ora mi chiedo, perchè?
Saluti
p.s.=tutto chiaro?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo