Dubbi su piano affine e piano proiettivo.

[Plinio78]

Nel piano proiettivo dire "proiettività reale" e "affinità del piano" è la stessa cosa? Mi riferisco ad un isomorfismo del piano in sé che trasforma rette in rette. Quest'ultimo isomorfismo, nel piano affine, è un'affinità del piano, giusto?! Se quanto ho scritto è corretto allora con affinità del piano potrei riferirmi ad un isomorfismo sia nel piano proiettivo che in quello affine. Ma dubito che sia corretto. Spero possiate aiutarmi, grazie in anticipo.

[killing_buddha]

No; una affinità è esattamente una proiettività che fissa l'iperpiano all'infinito (in \(\mathbb{RP}^2\) una retta, che puoi sempre assumere essere una delle rette "fondamentali" di equazione omogenea $X_i=0$ per $i=0,1,2$; puoi ulteriormente semplificare la scelta assumendo che $i=0$, perché entrambe le cose sono dei cambi di coordinate che puoi sempre fare).

Le affinità allora sono esattamente quelle proiettività che, scritte nel riferimento proiettivo che ha il generatore della retta all'infinito come primo elemento, sono della forma
\[
\begin{pmatrix}
1 & \mathbf{0}^t \\
v & A
\end{pmatrix}
\]
con \(v\in \mathbb{R}^2\) e \(A\in\text{GL}_2(\mathbb{R})\). La matrice $A$ è la trasformazione sottostante all'affinità, e l'affinità è univocamente determinata dal fatto che manda un punto $P$ in $A.P+v$.