Dubbi su esercizi su spazi vettoriali

[domenico.ragusa298]

Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di Geometria e mi ritrovo qualche dubbio svolgendo i temi d'esame di qualche hanno fa, soprattutto con gli spazi vettoriali, ecco alcune richieste che mi vengono fatte:

[*:268frvyb]"Esibire un esempio di un sistema di vettori linearmente indipendenti in R3 che non sia una base di R3".[/*:m:268frvyb][/list:u:268frvyb]
Io a questo punto scriverei (1,0,0) e (0,1,0) così i vettori sono linearmente indipendenti ma allo stesso tempo non sono 3 per cui non sono una base di R3. É corretto ?

[*:268frvyb]"Produrre un esempio di un sistema di generatori di R2 che non sia una base di R2."[/*:m:268frvyb][/list:u:268frvyb]
Allora io so che per essere una base di R2 i vettori devono essere sia generatori che allo stesso tempo linearmente indipendenti allora se scrivo {(1,0),(0,1),(1,1)} è esatto visto che ho 3 vettori di cui 2 indipendenti e uno dipendente agli altri e quindi non può essere una base di R2 ?

[*:268frvyb]"Costruire tre vettori v1, v2, v3 in R3 tali che Span(v1, v2, v3) = Span(v1, v2)"[/*:m:268frvyb][/list:u:268frvyb]
Ora io pensavo di prendere v1=(1,0,0) v2=(0,1,0) v3=(1,1,0) quindi il vettore v3 essendo linearmente dipendente agli altri 2 poteva essere considerato superfluo ed eliminato ottenendo ciò che viene richiesto nella consegna.

Mi aiutereste a capire se ho sbagliato qualcosa ? Magari facendomi qualche altro esempio ? Grazie mille

[Magma1]

"Dresult":

[*:1uz27fsl]"Esibire un esempio di un sistema di vettori linearmente indipendenti in $RR^3$ che non sia una base di $RR^3$".[/*:m:1uz27fsl][/list:u:1uz27fsl]
Io a questo punto scriverei $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$ così i vettori sono linearmente indipendenti ma allo stesso tempo non sono $3$ per cui non sono una base di $RR^3$. É corretto ?


[*:1uz27fsl]"Produrre un esempio di un sistema di generatori di $RR^2$ che non sia una base di $RR^2$."[/*:m:1uz27fsl][/list:u:1uz27fsl]
Allora io so che per essere una base di $RR^2$ i vettori devono essere sia generatori che allo stesso tempo linearmente indipendenti allora se scrivo ${(1,0),(0,1),(1,1)}$ è esatto visto che ho $3$ vettori di cui $2$ indipendenti e uno dipendente agli altri e quindi non può essere una base di $RR^2$ ?



[*:1uz27fsl]"Costruire tre vettori $v_1, v_2, v_3$ in $RR^3$ tali che $Span(v1, v2, v3) = Span(v1, v2)$"[/*:m:1uz27fsl][/list:u:1uz27fsl]
Ora io pensavo di prendere $v_1=(1,0,0), v_2=(0,1,0) v_3=(1,1,0)$ quindi il vettore $v_3$ essendo linearmente dipendente agli altri $2$ poteva essere considerato superfluo ed eliminato ottenendo ciò che viene richiesto nella consegna.

Giusto!

I primi due si basano sul lemma di Steinitz (lo conosci vero? ) mentre il secondo sul lemma di eliminazione!

[domenico.ragusa298]

"Magma":
I primi due si basano sul lemma di Steinitz (lo conosci vero? ) mentre il secondo sul lemma di eliminazione!

No, non lo conoscevo anche perché nel mio libro non è presente, anche se mi sembra strano...quindi grazie mille! Me lo appunto subito!
Il lemma di eliminazione invece dovrebbe essere l'algoritmo di estrazione ossi che data una base si confrontano i vettori e quelli che sono linearmente dipendenti dai vettori che li precedono si scartano ottenendo n vettori tanti quanto è grande la dimensione dello spazio vettoriale.

Un'ultima domanda:
"Siano U e W due sottospazi vettoriali di $ RR^8 $ con dim U = 3 e dim W =5. Quali delle seguenti affermazioni sono necessariamente vere?"
Una possibile risposta è U ⊕ W = $ RR^8 $ ma non compare come esatta allora io ho pensato inizialmente che fosse dovuto al fatto che dim(U ∩ W)<= 3 quindi è possibile che siano in somma diretta ma non sempre (necessariamente), sbaglio ?

[Magma1]

"Dresult":"Siano U e W due sottospazi vettoriali di $ RR^8 $ con $dim U = 3$ e $dim W =5$. Quali delle seguenti affermazioni sono necessariamente vere?"
Una possibile risposta è $U o+ W = RR^8 $ ma non compare come esatta allora io ho pensato inizialmente che fosse dovuto al fatto che $dim(U ∩ W)<= 3$ quindi è possibile che siano in somma diretta ma non sempre (necessariamente), sbaglio ?

Per la formula di Grassman si ha

$dim(U)+dim(W)=dim(U+W)+dim(U nn W)$

e tenendo conto del fatto che

$Uo+W hArr U nn W =0$

si ha che

$dim(U+W)=dim(U)+dim(W)$

"Dresult":
No, non lo conoscevo anche perché nel mio libro non è presente, anche se mi sembra strano...quindi grazie mille! Me lo appunto subito!

Strano, molto strano!

[domenico.ragusa298]

E' presente solo questa proprietà per quanto riguarda gli spazi vettoriali generati da un insieme di vettori:

Sia V uno spazio vettoriale, $ u_1,..,u_k in V $ e $ v in V $
Valgono le seguenti proprietà:
1) Se v $ v in Span(u_1,...u_k) $ allora $ Span(v) sub Span(u_1,...u_k) $
2) $ Span (u_1,..,u_k) sub Span(u_1,..,u_k,v) $
3) Se v $ v in Span(u_1,...u_k) $ allora
$ Span (u_1,..,u_k)=Span(u_1,..,u_k,v) $ e v viene dette generatore superfluo