Dubbi su equazione del piano nello spazio

[cri981]

assegnati due punti (3,1,0) (2,1,1) e dato un piano $pi$ ortogonale ad r e passante per il punto (1,1,1) devo trovare l'equazione del piano.

pensavo di procedere in questo modo:
prima devo trovare l'equazione della retta passante per 2 punti:
$ (x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)=(z-z_1)/(z_2-z_1) $

$ (x-3)/(2-3)=(y-1)/(1-1)=(z-0)/(1-0) $

$ (x-3)/(-1)=(y-1)=z $

impongo il sistema:
$ { ( (x-3)/-1=(y-1) ),( (x-3)/-1=z ):} $

ottengo le equazioni della retta
$ { ( x+y-4=0 ),( x+z-3=0 ):} $


adesso come faccio ad andare avanti?

Grazie a tutti coloro che contribuiranno ad aiutarmi

[Cantor99]

Ciao, provo a risponderti.

Col tuo ragionamento non saprei continuare (potrei ma sfocerei di nuovo in ciò che sto per proporti)

In generali, se la retta $r$ di numeri direttori $(l,m,n)$ e il piano $ π: ax+by+cz+d=0$ sono perpendicolari allora per qualche $k\in\RR$
$a=kl,b=km,c=kn$

Dunque il tutto si riduce a considerate fra tutti i piani quello per cui
$a=3-2=1$
$b=1-1=0$
$c=0-1=-1$
(Che sono tutti paralleli fra loro) e per ultimo imporre il passaggio per $(1,1,1)$
E si ottiene
$π: x-z=0$

P.S Attenzione che hai lasciato un $1-1$ al denominatore e l'hai trasformato in 1!

[cri981]

ciao, Cantor99
non ho capito come ottenuto $(1,0,-1)$
come faccio ad imporre il passaggio per$ (1,1,1) $ed ottenere il piano $pi: x-z=0 $ ?

grazie per avermi coretto sull'errore non lo avevo notato.

[Palliit]

Suggerimento: il piano dev'essere ortogonale al vettore $(3,1,0)-(2,1,1)=(1,0,-1)$.

[Cantor99]

$(1,0,-1)$ l'ho ottenuto come ha detto a @Pallit

Per quanto riguarda imporre il passaggio, basta porre che $(1,1,1)$ appartiene a $π : x-z+d=0$ e ricavare dunque $d$