Dubbi su base polinomio
Nello spazio $R3$ ho il seguente polinomio$x^3+x^2-x$,devo trovarne una base.
Io ho scelto $(1,-x,x^2,x^3)$,và bene?Se si,come faccio ha dimostrare che è una base?
Io ho scelto $(1,-x,x^2,x^3)$,và bene?Se si,come faccio ha dimostrare che è una base?
Risposte
Cos'è la base di un vettore? E poi quello è un polinomio, quindi sicuro non appartiene ad $RR_3$ ma semmai ad $RR_3[x]$ cioè ai polinomi di grado al più $3$ a coefficienti in $RR$.
Comunque ripeto, l'errore è credere che un vettore ammetta base. La base è propria di uno spazio vettoriale non di un singolo elemento.
Per verificare che è base considera una combinazione lineare a coefficienti in $RR$ nulla e prova che i coefficienti devo essere necessariamente $0$.
Oppure potresti scrivere un isomorfismo da $RR_3[x]$ in $RR^4$ a ricondurti a calcolare lì l'indipendenza lineare. Ma magari questo sistema lo vediamo dopo se ti interessa!
Comunque ripeto, l'errore è credere che un vettore ammetta base. La base è propria di uno spazio vettoriale non di un singolo elemento.
Per verificare che è base considera una combinazione lineare a coefficienti in $RR$ nulla e prova che i coefficienti devo essere necessariamente $0$.
Oppure potresti scrivere un isomorfismo da $RR_3[x]$ in $RR^4$ a ricondurti a calcolare lì l'indipendenza lineare. Ma magari questo sistema lo vediamo dopo se ti interessa!
Si,scusa ho sbagliato a scrivere,intendevo $RR_3[x]$ ,e inoltre la mia richiesta risulta poco chiara.
L'esercizio completo mi chiede,dato un sottoinsieme $W={p(x):p(1)=p(-1)}$,di verificare che $W$ sia un sottospazio e di trovarne una base.
Ho visto che per verificare la condizione $p(1)=p(-1)$,il polinomio tipo $ax^3+bx^2-cx+d$ deve avere $d=0$ e $a=b=c$ diversi da $0$(c'è un modo per dimostrarlo?).
Verificare che sia un sottospazio non mi è rimasto troppo difficile,ma incontro difficoltà a dimostrare che quella trovata(supponendo sia corretta)è una base
L'esercizio completo mi chiede,dato un sottoinsieme $W={p(x):p(1)=p(-1)}$,di verificare che $W$ sia un sottospazio e di trovarne una base.
Ho visto che per verificare la condizione $p(1)=p(-1)$,il polinomio tipo $ax^3+bx^2-cx+d$ deve avere $d=0$ e $a=b=c$ diversi da $0$(c'è un modo per dimostrarlo?).
Verificare che sia un sottospazio non mi è rimasto troppo difficile,ma incontro difficoltà a dimostrare che quella trovata(supponendo sia corretta)è una base
Aspetta ma $p(x)$ è un polinomio in $RR_3[x]$ oppure proprio $x^3+x^2-x+1$?
Perchè nel primo caso devi considerare un generico polinomio $ax^3+bx^2+cx+d$ ed applicare le condizioni, scriviamola meglio come $p(1)-p(-1)=0$ ed otteniamo $a=-c$ quindi un generico polinomio di quel tipo è $ax^3+bx^2-ax+d$. Per cui raccogliamo la $a$ ed abbiamo $a(x^3-x)+bx^2+d$
Una base è pertanto $x^3-x,x^2,1$. Per provare la lineare indipendenza fai come detto sopra.
La tua base è una base "quasi" canonica, inoltre ha cardinalità $4$ quindi sarebbe tutto $RR_3[x]$ ma questo non può essere, perchè il nostro "grado di libertà" deve essere $3$; detto in altri termini non tutti i polinomi di $RR_3[x]$ soddisfano la nostra condizione
Perchè nel primo caso devi considerare un generico polinomio $ax^3+bx^2+cx+d$ ed applicare le condizioni, scriviamola meglio come $p(1)-p(-1)=0$ ed otteniamo $a=-c$ quindi un generico polinomio di quel tipo è $ax^3+bx^2-ax+d$. Per cui raccogliamo la $a$ ed abbiamo $a(x^3-x)+bx^2+d$
Una base è pertanto $x^3-x,x^2,1$. Per provare la lineare indipendenza fai come detto sopra.
La tua base è una base "quasi" canonica, inoltre ha cardinalità $4$ quindi sarebbe tutto $RR_3[x]$ ma questo non può essere, perchè il nostro "grado di libertà" deve essere $3$; detto in altri termini non tutti i polinomi di $RR_3[x]$ soddisfano la nostra condizione
$p(x)$ è un polinomio in $RR_3[x]$.
Non ci avevo pensato a vederlo come $p(1)-p(-1)=0$
Grazie
Non ci avevo pensato a vederlo come $p(1)-p(-1)=0$
Grazie
Come faccio ha trovare le coordinate un polinomio appartenete a $W$ rispetto alla base trovata $(x^3-x,x^2,1)$?
Io ho provato ha "scomporre"la base trovata nei tre polinomi che la compongono,successivamente "scompongo" ogni polinomio secondo il grado e ne ricavo una matrice,metto la matrice uguale ai coefficienti del polinomio dato,ne ricavo un sistema che risolvo...Spero non sia troppo incasinato quello che ho scritto.
Quindi avendo come polinomio $3x^3+3x^2-3x$,le sue coordinate rispetto alle base trovata sopra a me risultano $(3,3,0)$,mi potete dire se può andare bene?
Io ho provato ha "scomporre"la base trovata nei tre polinomi che la compongono,successivamente "scompongo" ogni polinomio secondo il grado e ne ricavo una matrice,metto la matrice uguale ai coefficienti del polinomio dato,ne ricavo un sistema che risolvo...Spero non sia troppo incasinato quello che ho scritto.
Quindi avendo come polinomio $3x^3+3x^2-3x$,le sue coordinate rispetto alle base trovata sopra a me risultano $(3,3,0)$,mi potete dire se può andare bene?
Certo che è corretto!
Riguardando questo esercizio,mi domando come posso fare a dimostrare che $(x^3-x,x^2,1)$ è una base.
Mi spiego meglio,so che per essere una base devono essere rispettate due condizioni:-La base deve generare il sottospazio.-Deve essere linearmente indipendente.
La mia difficoltà rimane sopratutto quella di lavorare con un polinomio.Per verificare la seconda condizione(l'indipendenza lineare) ho provato a scomporre la base come fatto precedentemente per ricavare le coordinate,ricavando questa matrice:
$((1,0,0,1),(0,-1,0,1),(0,0,1,0))$
Si vede subito che è linearmente indipendente,ma non sono sicuro della correttezza di questo procedimento,cioè del passaggio da polinomio a matrice.Potete dirmi se quello che faccio è corretto?(o eventualmente dove sbaglio)
Mi spiego meglio,so che per essere una base devono essere rispettate due condizioni:-La base deve generare il sottospazio.-Deve essere linearmente indipendente.
La mia difficoltà rimane sopratutto quella di lavorare con un polinomio.Per verificare la seconda condizione(l'indipendenza lineare) ho provato a scomporre la base come fatto precedentemente per ricavare le coordinate,ricavando questa matrice:
$((1,0,0,1),(0,-1,0,1),(0,0,1,0))$
Si vede subito che è linearmente indipendente,ma non sono sicuro della correttezza di questo procedimento,cioè del passaggio da polinomio a matrice.Potete dirmi se quello che faccio è corretto?(o eventualmente dove sbaglio)
Sì è corretto. Stai sfruttando un isomorfismo da $RR_3[x]$ in $RR_4$ dove associ al generico polinomio $ax^3+bx^2+cx+d$ il vettore $(a,b,c,d)$.
Scusate se riprendo questa discussione, ma vorrei capire da dove viene fuori quella matrice, non capisco il passaggio che è stato fatto.
Riuscite a spiegarmelo? Non capisco come ricavare la matrice del cabiamento di base, perchè, è di quello che si parla, giuso?
"One":
La mia difficoltà rimane sopratutto quella di lavorare con un polinomio.Per verificare la seconda condizione(l'indipendenza lineare) ho provato a scomporre la base come fatto precedentemente per ricavare le coordinate,ricavando questa matrice:
$((1,0,0,1),(0,-1,0,1),(0,0,1,0))$
Si vede subito che è linearmente indipendente,ma non sono sicuro della correttezza di questo procedimento,cioè del passaggio da polinomio a matrice.Potete dirmi se quello che faccio è corretto?(o eventualmente dove sbaglio)
Riuscite a spiegarmelo? Non capisco come ricavare la matrice del cabiamento di base, perchè, è di quello che si parla, giuso?
il mio polinomio è questo: $q(x)=x^3+3x^2-2x$
mentre la base è la stessa. La matrice associata alla base, non dovrebbe essere così?
$((1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,0,1))$
mentre la base è la stessa. La matrice associata alla base, non dovrebbe essere così?
$((1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,0,1))$
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