Dubbi su applicazioni lineari
Sto preparanzo l'esame di algebra lineare ed ho alcuni dubbi circa le applicazioni lineari...
1- io so dalla teoria che due spazi sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Ma mi chiedo, ogni applicazione che posso costruire tra questi due spazi che sia lineare è necessariamente un isomorfismo? o possono ad esempio esserci endomorfismi che non siano per forza bigettivi?
2- (questa è più banale) per dimostrare che un certo spazio $V$ è somma diretta del $ker$ $f$ e dell'$Im$ $f$ basta dimostrare che $dimV$=$dim$ $ker$ $f$ $+dim$ $Im$ $f$, ma questa relazione deriva dalla formula di Grassman? la cosa che non capisco bene è che la relazione $dimV$=$dim$ $ker$ $f$ dovrebbe sussistere per ogni applicazione che sia lineare e per ogni spazio di dimensione finita, quindi ogni spazio dovrebbe essere somma diretta del $ker$ e dell' $Im$, cosa di cui dubito fortemente...oppure è possibile che un vettore appartenga alla loro intersezione?
grazie mille!
1- io so dalla teoria che due spazi sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Ma mi chiedo, ogni applicazione che posso costruire tra questi due spazi che sia lineare è necessariamente un isomorfismo? o possono ad esempio esserci endomorfismi che non siano per forza bigettivi?
2- (questa è più banale) per dimostrare che un certo spazio $V$ è somma diretta del $ker$ $f$ e dell'$Im$ $f$ basta dimostrare che $dimV$=$dim$ $ker$ $f$ $+dim$ $Im$ $f$, ma questa relazione deriva dalla formula di Grassman? la cosa che non capisco bene è che la relazione $dimV$=$dim$ $ker$ $f$ dovrebbe sussistere per ogni applicazione che sia lineare e per ogni spazio di dimensione finita, quindi ogni spazio dovrebbe essere somma diretta del $ker$ e dell' $Im$, cosa di cui dubito fortemente...oppure è possibile che un vettore appartenga alla loro intersezione?
grazie mille!
Risposte
1- Hai ragione. Due spazi vettoriali $V$ e $W$ della stessa dimensione finita sono isomorfi. Però non tutte le applicazioni lineari da $V$ e $W$ sono isomorfismi. Prendi ad esempio l'applicazione nulla $f_0:V\to W$ che è ovviamente lineare ma non bigettiva.
2- Innanzitutto hai $f:V\to V$ un endomorfismo. Quello che sai è solo che $dim\ V=dim\ ker\ f+dim\ Im\ f$. Questa è una formula che si dimostra. Se ti serve, ti dò la dimostrazione, ma, visto che abbiamo seguito gli stessi corsi (anche se in anni diversi), dovresti averla anche tu, valla a rivedere.
Questa formula non implica che $V$ è somma diretta di $ker\ f$ e $Im\ f$. Ciò è vero per alcuni particolari endomorfismi $f$ ma non per tutti!
Se ne hai uno particolare e ti si chiede di dimostrare che $V=ker\f\oplus Im\ f$, devi farlo al solito modo, cioè dimostra che ogni $v\in V$ si può scrivere come somma di un $u\in ker\ f$ e di un $w\in Im\ f$ e che $ker\ f\cap Im\ f={0}$.
Spero di aver risposto alle tue domande, ciao!
2- Innanzitutto hai $f:V\to V$ un endomorfismo. Quello che sai è solo che $dim\ V=dim\ ker\ f+dim\ Im\ f$. Questa è una formula che si dimostra. Se ti serve, ti dò la dimostrazione, ma, visto che abbiamo seguito gli stessi corsi (anche se in anni diversi), dovresti averla anche tu, valla a rivedere.
Questa formula non implica che $V$ è somma diretta di $ker\ f$ e $Im\ f$. Ciò è vero per alcuni particolari endomorfismi $f$ ma non per tutti!
Se ne hai uno particolare e ti si chiede di dimostrare che $V=ker\f\oplus Im\ f$, devi farlo al solito modo, cioè dimostra che ogni $v\in V$ si può scrivere come somma di un $u\in ker\ f$ e di un $w\in Im\ f$ e che $ker\ f\cap Im\ f={0}$.
Spero di aver risposto alle tue domande, ciao!
Ciao grazie innanzitutto per le tue risposte... quanto al quesito 1, alla fine pensandoci bene, proprio con lo stesso controesempio tuo sono giunto alla soluzione...
quanto al 2 (che forse è meno banale del previsto!): la formula ce l'ho, ed ho anche sotto mano la dimostrazione, quello che non capisco è questo:
Per Grassman io so che se $U,W$ sono sottospazi di $V$ allora $dim U+W$$=dimU+dimW-dimUnnW$, se però $V=UoplusW$ allora $dimV=dimU+dimW$, so inoltre che vale $dim V=dim ker f+dim Im f$.
Ora mi chiedo se questa somma non fosse diretta l'intersezione tra $ker$ ed $Im$ non sarebbe banale e perciò avrebbe dimensione maggiore uguale di 1.
quindi questo vuol dire per Grassman $dim V=dim ker f+dim Im f - dimKerfnn Imf$ ma questo sarebbe diverso da $dim V=dim ker f+dim Im f$. Oppure è sbagliato porre il relazione il teorema della dimensione di uno spazio vettoriale con l'identità di Grassman?
grazie ancora
quanto al 2 (che forse è meno banale del previsto!): la formula ce l'ho, ed ho anche sotto mano la dimostrazione, quello che non capisco è questo:
Per Grassman io so che se $U,W$ sono sottospazi di $V$ allora $dim U+W$$=dimU+dimW-dimUnnW$, se però $V=UoplusW$ allora $dimV=dimU+dimW$, so inoltre che vale $dim V=dim ker f+dim Im f$.
Ora mi chiedo se questa somma non fosse diretta l'intersezione tra $ker$ ed $Im$ non sarebbe banale e perciò avrebbe dimensione maggiore uguale di 1.
quindi questo vuol dire per Grassman $dim V=dim ker f+dim Im f - dimKerfnn Imf$ ma questo sarebbe diverso da $dim V=dim ker f+dim Im f$. Oppure è sbagliato porre il relazione il teorema della dimensione di uno spazio vettoriale con l'identità di Grassman?
grazie ancora
Il problema è che la formula sulle dimensioni ti dice che $dim\ V=dim\ ker\ f+dim\ Im\ f$ e non che $V=ker\ f+Im\ f$.
Quindi l'identità di Grassman è
$dim(ker\ f+Im\ f)=dim\ ker\ f+dim\ Im\ f-dim(ker\ f\cap Im\ f)$.
Per provare che $V=ker\ f\oplus Im\ f$, innanzitutto devi provare che $V=ker\ f+Im\ f$, cosa che a priori non sai.
Per esempio, prendi l'applicazione $f:RR^2\to RR^2$ lineare tale che $f(e_1)=e_2$ e $f(e_2)=0$ e (dove $(e_1,e_2)$ è la base canonica). Si ha che $ker\ f=Im\ f=$. Non è certamente vero che che $RR^2=ker\ f+ Im\ f$...
Quindi l'identità di Grassman è
$dim(ker\ f+Im\ f)=dim\ ker\ f+dim\ Im\ f-dim(ker\ f\cap Im\ f)$.
Per provare che $V=ker\ f\oplus Im\ f$, innanzitutto devi provare che $V=ker\ f+Im\ f$, cosa che a priori non sai.
Per esempio, prendi l'applicazione $f:RR^2\to RR^2$ lineare tale che $f(e_1)=e_2$ e $f(e_2)=0$ e (dove $(e_1,e_2)$ è la base canonica). Si ha che $ker\ f=Im\ f=
Il ker e l'Im possono intersecarsi solo se spazio di partenza e spazio di arrivo coincidono vero?
comunque ho capito perfettamente adesso, ti ringrazio davvero tanto... mi stai togliendo più di qualche dubbio!
comunque ho capito perfettamente adesso, ti ringrazio davvero tanto... mi stai togliendo più di qualche dubbio!
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