Dubbi proposizione 4.44, Manetti

[kaspar1]

Ciao

Questa volta ho un problema riguardo ad un passo della dimostrazione di un teorema.

"Marco Manetti a pagina 80, Topologia 2ed,":
Proposizione 4.44 Sia \(f : X \to Y\) un'applicazione. Se \(Y\) è compatto e \(f^{-1}\{y\}\) è compatto per ogni \(y \in Y\), allora anche \(X\) è compatto.

Dimostrazione. A meno di sostituire \(Y\) con \(f(X)\), non è restrittivo supporre che \(f\) sia surgettiva; per ogni \(A \subset X\) definiamo \[A^\prime = \{ y \in Y \mid f^{-1}\{y\} \subset A \}.\] Siccome \(Y - A^\prime = f(X-A)\) ed \(f\) è chiusa [non capisco perché sia chiusa], ne segue che se \(A\) è aperto, allora anche \(A^\prime\) è aperto.

[... non proseguo oltre con la dimostrazione perché, mi sembra che questo fatto venga dato per noto una volta per tutte, venga usato dopo...]

Ho provato a capire come posso spiegare questa cosa ma non ci sono riuscito. Ho provato a girare su Math.SX, e mi sembra che manchi qualche ipotesi nel teorema:
https://math.stackexchange.com/question ... -x-compact

[kaspar1]

(Scusa per il ritardo, ma ieri continuava a darmi "connessione non sicura".)

Avevo pensato di cercare pure io qualche errata corrige, ma sulla pagina della Springer del testo (dove mi sembrava sensato esserci) non c'erano. E invece erano sulla sua pagina sul sito dell'ateneo. Grazie.

[solaàl]

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