Dubbi molteplicità geometrica e algebrica
ciao a tutti ho qualche domanda da fare..per trovare la molteplicità geometrica, basta mettere gli autovettori trovati in un una matrice e calcolarne il rango?? detto terra terra...! e invece per la molteplicità geometrica, se per esempio i miei autovalori sono k=1, k=2, k=2, la molteplicità algebrica è data da 2(n di volte che si presenta il 2)+ 1(n di volte che si presenta 1) ?? oppure è semplicemente 2 perchè sono 2 i valori distinti che ho trovato?? sono un po confusa spero possiate risolvere i miei dubbi!!
Risposte
Ciao,
partiamo dalla molteplicità algebrica. La molteplicità algebrica di un autovalore è il numero di volte che l'autovalore è soluzione dell'equazione $det(A- \lambda I_n) = 0$.
Quindi nell'esempio che hai fatto tu la molteplicità algebrica dell'autovalore $\lambda = 2$ è $2$ mentre quella dell'autovalore $\lambda = 1$ è $1$.
La molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda$ si trova facendo $n - rank(A- \lambda I_n)$ dove $n$ è la dimensione della matrice e $rank$ indica il rango.
Se vuoi prova a postare qualche esercizio che ti dà problemi, così lo guardiamo.
partiamo dalla molteplicità algebrica. La molteplicità algebrica di un autovalore è il numero di volte che l'autovalore è soluzione dell'equazione $det(A- \lambda I_n) = 0$.
Quindi nell'esempio che hai fatto tu la molteplicità algebrica dell'autovalore $\lambda = 2$ è $2$ mentre quella dell'autovalore $\lambda = 1$ è $1$.
La molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda$ si trova facendo $n - rank(A- \lambda I_n)$ dove $n$ è la dimensione della matrice e $rank$ indica il rango.
Se vuoi prova a postare qualche esercizio che ti dà problemi, così lo guardiamo.
"zompetta":
ciao a tutti ho qualche domanda da fare..per trovare la molteplicità geometrica, basta mettere gli autovettori trovati in un una matrice e calcolarne il rango??
Per ogni autovalore della matrice, diciamo $A$, calcoli le radici $\lambda_i$ del polinomio caratteristico (cioè gli autovalori) e risolvi per ciscuna di esse il sistema \((A-\lambda_i I)\mathbf{x}_i=\mathbf{0}\). Il modo consueto, per riduzione della matrice \(A-\lambda_i I\), in cui si risolve il sistema ti porta a trovare degli autovalori \(\mathbf{x}_i\) che sono una base dell'autospazio \(\ker(A-\lambda_i I)\), tutti linearmente indipendenti e non hai bisogno di controllare niente.
Se invece avessi dei vettori di \(\mathbb{C}^n\) o \(\mathbb{R}^n\) -per esempio forniti da un esercizio- a caso, per scegliere tra essi un insieme che sia di vettori linearmente indipendenti che generano lo stesso sottospazio (in questo caso l'autospazio), naturalmente puoi metterli in una matrice e studiarne il rango.
"zompetta":
se per esempio i miei autovalori sono k=1, k=2, k=2
La molteplicità algebrica di un autovalore (più in generale di una radice di un polinomio) la trovi fattorizzando il polinomio, in questo caso il polinomio caratteristico: è il numero dei fattori che si annullano se $\lambda$ assume quel valore.
Per esempio il polinomio caratteristico \(\det(A-\lambda I)=\lambda^2(2-\lambda)(1-\lambda)\) di una matrice $A$ con autovalori 0, 1 e 2, ha radici/autovalori con molteplicità algebrica rispettivamente 2, 1 e 1.
Non si deve affatto moltiplicare l'autovalore per il numero di volte che compare nei fattori del polinomio.
Ciao!
EDIT: scusa, minomic, ho risposto contemporaneamente a te. Lascio comunque il post, caso mai servisse.
"minomic":
Ciao,
partiamo dalla molteplicità algebrica. La molteplicità algebrica di un autovalore è il numero di volte che l'autovalore è soluzione dell'equazione $det(A- \lambda I_n) = 0$.
Quindi nell'esempio che hai fatto tu la molteplicità algebrica dell'autovalore $\lambda = 2$ è $2$ mentre quella dell'autovalore $\lambda = 1$ è $1$.
La molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda$ si trova facendo $n - rank(A- \lambda I_n)$ dove $n$ è la dimensione della matrice e $rank$ indica il rango.
Se vuoi prova a postare qualche esercizio che ti dà problemi, così lo guardiamo.
ma poi devo sommarle le molteplicità algebriche degli autovalori?? non dovrebbe essere un numero solo la m.algebrica?? e quindi quella geometrica la trovo facendo l'ordine della matrice - il rango dell'autospazio?? scusa è tutto il pomeriggio che studio e sto un po fusa ...
Le molteplicità sono riferite ai singoli autovalori e quindi vanno considerate separatamente.
Forse intendi dire che una condizione necessaria affinchè una matrice sia diagonalizzabile è che la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori sia $n$.
La molteplicità geometrica la calcoli facendo $n - rank(A- \lambda I_n)$ dove al posto di $\lambda$ vai a sostituire l'autovalore che stai analizzando in quel momento.
Per altre informazioni ti rimando qui.
Forse intendi dire che una condizione necessaria affinchè una matrice sia diagonalizzabile è che la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori sia $n$.
La molteplicità geometrica la calcoli facendo $n - rank(A- \lambda I_n)$ dove al posto di $\lambda$ vai a sostituire l'autovalore che stai analizzando in quel momento.
Per altre informazioni ti rimando qui.
"DavideGenova":
scusa, minomic, ho risposto contemporaneamente a te. Lascio comunque il post, caso mai servisse.
Ma certo! Fa sempre bene avere più informazioni e sentire più spiegazioni!
grazie 1000 a tutti, siete stati gentilissimi ed esaurienti!! tutto molto chiaro, grazie ancora 
il mio problema era la convinzione che esistesse una sola molteplicità algebrica e geometrica per ogni matrice.. ora finalmente è tutto chiaro!!:)
il mio problema era la convinzione che esistesse una sola molteplicità algebrica e geometrica per ogni matrice.. ora finalmente è tutto chiaro!!:)
"zompetta":
ora finalmente è tutto chiaro!!:)
Ottimo!
scusate forse ho parlato un po presto.. sto provando a fare questo esercizio :
Sia f: R3 $ rarr $ R3 l'applicazione lineare definita da
f $ rarr ( (x1), (x2), (x3) ) $ = $ rarr ( (x1+2x2), (x1+2x2), (3x3) ) $
a) si scriva la matrice A [...] rispetto alla base canonica
b) si determinino gli autovalori di f e le loro rispettive molteplicità algebriche e geometrice.
c) si determini una matrice 3x3 invertibile N tale che N-1 A N sia una matrice diagonale.
allora per il punto ha ho trovato la matrice A= $ rarr ( (1,2,0),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 ,3 ) ) $ , e ho trovato come autovalori 3 e 0 ...ma ho l'impressione di avere sbagliato il calcolo del polinomio caratteristico perchè poi mi vengono 2 autovettori e non posso costruire la matrice 3x3 richiesta al punto c. help!!
sto provando a fare questo esercizio :Sia f: R3 $ rarr $ R3 l'applicazione lineare definita da
f $ rarr ( (x1), (x2), (x3) ) $ = $ rarr ( (x1+2x2), (x1+2x2), (3x3) ) $
a) si scriva la matrice A [...] rispetto alla base canonica
b) si determinino gli autovalori di f e le loro rispettive molteplicità algebriche e geometrice.
c) si determini una matrice 3x3 invertibile N tale che N-1 A N sia una matrice diagonale.
allora per il punto ha ho trovato la matrice A= $ rarr ( (1,2,0),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 ,3 ) ) $ , e ho trovato come autovalori 3 e 0 ...ma ho l'impressione di avere sbagliato il calcolo del polinomio caratteristico perchè poi mi vengono 2 autovettori e non posso costruire la matrice 3x3 richiesta al punto c. help!!
I calcoli sono giusti: i due autovalori sono $\lambda = 0$ con molteplicità algebrica $1$ e $\lambda = 3$ con molteplicità algebrica $2$. Costruiamo gli autovettori: dobbiamo trovare il Ker dell'applicazione che ha $A- \lambda I_3$ come matrice.
Autovalore $0$
La matrice è
\[ A-0 \cdot I_3 = \left( \begin{matrix}
1&2&0\\1&2&0\\0&0&3
\end{matrix} \right)\]e la soluzione è nella forma
\[
\begin{cases}
x=-2y\\y=y\\z=0
\end{cases} \Rightarrow \left( \begin{matrix}
-2\\1\\0
\end{matrix} \right)
\]
Autovalore $3$
La matrice è
\[ A-3 \cdot I_3 = \left( \begin{matrix}
-2&-2&0\\1&-1&0\\0&0&0
\end{matrix} \right)\]e la soluzione è nella forma
\[
\begin{cases}
x=y\\y=y\\z=z
\end{cases} \Rightarrow \left( \begin{matrix}
1\\1\\0
\end{matrix} \right), \,
\left( \begin{matrix}
0\\0\\1
\end{matrix} \right)
\]In definitiva la matrice che stiamo cercando è
\[ N= \left( \begin{matrix}
-2&1&0\\1&1&0\\0&0&1
\end{matrix} \right)
\]Infatti, se facciamo i calcoli troviamo
\[
N^{-1} \cdot A \cdot N = \left( \begin{matrix}
0&0&0\\0&3&0\\0&0&-3
\end{matrix} \right)
\]che è una matrice diagonale.
Autovalore $0$
La matrice è
\[ A-0 \cdot I_3 = \left( \begin{matrix}
1&2&0\\1&2&0\\0&0&3
\end{matrix} \right)\]e la soluzione è nella forma
\[
\begin{cases}
x=-2y\\y=y\\z=0
\end{cases} \Rightarrow \left( \begin{matrix}
-2\\1\\0
\end{matrix} \right)
\]
Autovalore $3$
La matrice è
\[ A-3 \cdot I_3 = \left( \begin{matrix}
-2&-2&0\\1&-1&0\\0&0&0
\end{matrix} \right)\]e la soluzione è nella forma
\[
\begin{cases}
x=y\\y=y\\z=z
\end{cases} \Rightarrow \left( \begin{matrix}
1\\1\\0
\end{matrix} \right), \,
\left( \begin{matrix}
0\\0\\1
\end{matrix} \right)
\]In definitiva la matrice che stiamo cercando è
\[ N= \left( \begin{matrix}
-2&1&0\\1&1&0\\0&0&1
\end{matrix} \right)
\]Infatti, se facciamo i calcoli troviamo
\[
N^{-1} \cdot A \cdot N = \left( \begin{matrix}
0&0&0\\0&3&0\\0&0&-3
\end{matrix} \right)
\]che è una matrice diagonale.
e la molteplicità geometrica sarebbe 2 con l'autovalore 3 , e 1 con l'autovalore 0?? mi è venuto cosi facendo l'ordine della matrice (3) - rank, che è una volta 1 (con il 3) e una volta 2 (con l'autovalore 0).
Esatto e visto che le molteplicità algebriche coincidono con quelle geometriche gli autovalori sono regolari \(\Rightarrow\) la matrice è diagonalizzabile.
ottimo ti ringrazio ancora, sei stato gentilissimo!!:)
"zompetta":
ottimo ti ringrazio ancora, sei stato gentilissimo!!:)
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