Dubbi - isomorfismo
Salve a tutti...avevo qualche dubbio che spero possiate aiutarmi a dissolvere.
Vi linko direttamente un compito svolto dal mio prof, così vi espongo subito i miei dubbi.
http://www.dmi.unict.it/~geometria/giuf ... 7_1_09.pdf
Per ora riguardano solo il primo punto xD
1) Il prof scrive la matrice associata all'endomorfismo e scrive che f è un isomorfismo nel caso in cui il determinante sia diverso da zero.
Ma perchè? Cioè io ho un idea...vale a dire:
f è un isomorfismo $hArr$ f è invertibile
Allora per essere f invertibile la matrice associata deve essere invertibile, cioè il determinante deve essere $!=0$. E' corretto?
2) A questo punto il prof calcola $Imf$ e $Kerf$ ma solo per i valori di h per cui la funzione non è un isomorfismo. Ma perchè? Nel caso in cui f sia un isomorfismo, $Ker$ e $Im$ sono ben definite e quindi magari l'ha omesso in quanto banale?
Io ho pensato che, se è giusto quello che ho detto prima, la f essendo un isomorfismo sarà invertibile, e quindi anche iniettiva, quindi varrà:
f è iniettiva $hArr Kerf$ contiene solo il vettore nullo
Quindi se f è un isomorfismo il Ker è ben definito, ma l'Im?
E' forse perchè essendo f un isomorfismo, è suriettiva, quindi ogni elemento del codominio è immagine di qualche elemento del dominio, quindi tutto il codominio è l'immagine di f?
Scusate ma sono appena agli inizi, e piuttosto che fare gli esercizi in maniera meccanica vorrei prima capirli
Vi linko direttamente un compito svolto dal mio prof, così vi espongo subito i miei dubbi.
http://www.dmi.unict.it/~geometria/giuf ... 7_1_09.pdf
Per ora riguardano solo il primo punto xD
1) Il prof scrive la matrice associata all'endomorfismo e scrive che f è un isomorfismo nel caso in cui il determinante sia diverso da zero.
Ma perchè? Cioè io ho un idea...vale a dire:
f è un isomorfismo $hArr$ f è invertibile
Allora per essere f invertibile la matrice associata deve essere invertibile, cioè il determinante deve essere $!=0$. E' corretto?
2) A questo punto il prof calcola $Imf$ e $Kerf$ ma solo per i valori di h per cui la funzione non è un isomorfismo. Ma perchè? Nel caso in cui f sia un isomorfismo, $Ker$ e $Im$ sono ben definite e quindi magari l'ha omesso in quanto banale?
Io ho pensato che, se è giusto quello che ho detto prima, la f essendo un isomorfismo sarà invertibile, e quindi anche iniettiva, quindi varrà:
f è iniettiva $hArr Kerf$ contiene solo il vettore nullo
Quindi se f è un isomorfismo il Ker è ben definito, ma l'Im?
E' forse perchè essendo f un isomorfismo, è suriettiva, quindi ogni elemento del codominio è immagine di qualche elemento del dominio, quindi tutto il codominio è l'immagine di f?
Scusate ma sono appena agli inizi, e piuttosto che fare gli esercizi in maniera meccanica vorrei prima capirli
Risposte
1) Esiste un isomorfismo tra lo spazio vettoriale delle matrici e quello degli endomorfismi. Le matrici invertibili corrispondono a funzioni biiettive e quindi ad isomorfismo.
2) Qual'è il kernel di una endomorfismo iniettivo? Qual'é l'immagine di una funzione suriettiva?
2) Qual'è il kernel di una endomorfismo iniettivo? Qual'é l'immagine di una funzione suriettiva?
Perfetto, allora come pensavo io 
Altro dubbio:
http://www.dmi.unict.it/~geometria/giuf ... 1_7_09.pdf
Nel primo punto di questo compito viene scritta la matrice associata all'applicazione, viene ridotta e il prof scrive che la f è suriettiva nel caso in cui $h!=+-1$.
In quei casi il rango della matrice associata all'applicazione è 2...ma da qui come posso arrivare a dire che la f è suriettiva?
Io so che se A è la matrice associata applicazione f risulta $rk(A)=dimImf$ e in questo caso la la dimensione dell'immagine di f è uguale alla dimensione dello spazio d'arrivo...ma questa mi sembra una condizione solo sufficiente per la suriettività!
Confusione T_T
Altro dubbio:
http://www.dmi.unict.it/~geometria/giuf ... 1_7_09.pdf
Nel primo punto di questo compito viene scritta la matrice associata all'applicazione, viene ridotta e il prof scrive che la f è suriettiva nel caso in cui $h!=+-1$.
In quei casi il rango della matrice associata all'applicazione è 2...ma da qui come posso arrivare a dire che la f è suriettiva?
Io so che se A è la matrice associata applicazione f risulta $rk(A)=dimImf$ e in questo caso la la dimensione dell'immagine di f è uguale alla dimensione dello spazio d'arrivo...ma questa mi sembra una condizione solo sufficiente per la suriettività!
Confusione T_T
"Cod":
Perfetto, allora come pensavo io
Io so che se A è la matrice associata applicazione f risulta $rk(A)=dimImf$ e in questo caso la la dimensione dell'immagine di f è uguale alla dimensione dello spazio d'arrivo...ma questa mi sembra una condizione solo sufficiente per la suriettività!
Confusione T_T
Appunto..se fosse stata solo necessaria non ti sarebbe bastata...
Allora è una condizione necessaria e sufficiente?
Scusa Sergio, una applicazione è suriettiva se l'immagine è uguale al codominio (non dominio, ti sarai distratto 
)
Ma io mica lo so che la mia funzione ha immagine uguale al codominio...so solo che l'immagine e il dominio hanno la stessa dimensione
)Ma io mica lo so che la mia funzione ha immagine uguale al codominio...so solo che l'immagine e il dominio hanno la stessa dimensione
"Cod":
Altro dubbio:
http://www.dmi.unict.it/~geometria/giuf ... 1_7_09.pdf
Nel primo punto di questo compito viene scritta la matrice associata all'applicazione, viene ridotta e il prof scrive che la f è suriettiva nel caso in cui $h!=+-1$.
In quei casi il rango della matrice associata all'applicazione è 2...ma da qui come posso arrivare a dire che la f è suriettiva?
Il rango è 2, quindi la dimensione dell'immagine dell'applicazione è 2... poichè il codominio è $RR^2$ che ha anch'esso dimensione 2, segue che $im(f) = RR^2$ e quindi la funzione è suriettiva.
Quindi è sufficiente dire che $RR^2$ e $im(f)$ hanno la stessa dimensione per poter dire che coincidono?
E' sufficiente in questo caso perchè $RR^2$ è il codominio e si ha sempre che $im(f) sube \text{codominio}$.
(Più in generale, dati due spazi vettoriali $V$ e $W$ t.c. $V sube W$ e $dim(V) = dim(W)$, allora $V = W$.
(Più in generale, dati due spazi vettoriali $V$ e $W$ t.c. $V sube W$ e $dim(V) = dim(W)$, allora $V = W$.
Ok perfetto grazie ^^
Sergio:
Direi che la cosa è anche più semplice: come definisci un'applicazone suriettiva? È suriettiva se la sua immagine è uguale al dominio.
La tua è quindi suriettiva semplicemente per la definizione stessa di applicazione suriettiva.
Se parli di applicazioni continue, hai che un'applicazione è suriettiva se la controimmagine del codominio è contenuta nel dominio, strettamente o no.
"Marco512":
[quote="Sergio"]Direi che la cosa è anche più semplice: come definisci un'applicazone suriettiva? È suriettiva se la sua immagine è uguale al dominio.
La tua è quindi suriettiva semplicemente per la definizione stessa di applicazione suriettiva.
Se parli di applicazioni continue, hai che un'applicazione è suriettiva se la controimmagine del codominio è contenuta nel dominio, strettamente o no.[/quote]
Al di là della continuità applicazione suriettiva vuol dire che per ogni $y$ nel codominio esiste una $x$ nel dominio tale che $f(x)=y$ quindi quello che hai detto è sempre vero... Dopo di che non so esattamente come interpretare il fatto che la controimmagine di una funzione non sia contenuta nel dominio... Stai supponendo che il dominio sia in qualche modo contenuto in qualche spazio più grande e che la funzione possa essere estesa in quello spazio in modo da renderla suriettiva? La controimmagine di un punto del codominio che non è immagine di nessun punto viene mandato all'insieme vuoto ed è quindi anch'esso contenuto nel dominio...
E poi non mi sembra che nel caso specifico fosse stata introdotta una topologia e quindi non ha senso parlare di funzione continue...
"Cod":
Scusa Sergio, una applicazione è suriettiva se l'immagine è uguale al codominio (non dominio, ti sarai distratto
Ma io mica lo so che la mia funzione ha immagine uguale al codominio...so solo che l'immagine e il dominio hanno la stessa dimensione
Una base viene mandata in un'altra base che genera tutto il codominio.
x vict85:
Esistono varie caratterizzazioni per la suriettività, però la definizione più corretta è quella che hai dato tu, cioè che per ogni $y$ nel codominio $EE x$ nel dominio tale che $x=f^(-1)(y)$.
Leggendo la soluzione direi che l'applicazione lineare è più che un isomorfismo, è un automorfismo, dato che lo spazio di partenza è lo stesso di quello di arrivo, $RR^3$.
Esistono varie caratterizzazioni per la suriettività, però la definizione più corretta è quella che hai dato tu, cioè che per ogni $y$ nel codominio $EE x$ nel dominio tale che $x=f^(-1)(y)$.
Leggendo la soluzione direi che l'applicazione lineare è più che un isomorfismo, è un automorfismo, dato che lo spazio di partenza è lo stesso di quello di arrivo, $RR^3$.
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