Dubbi in vista dell'esame
Intanto prego i mod di chiudere il mio vecchio topic così faccio un po' di ordine e riassumo brevemente aggiungendo anche nuovi dubbi:
1) Quando ho un endomorfismo la matrice rappresentativa come è fatta ? o meglio: se mantengo la stessa base la matrice rappresentativa associata all'endomorfismo cos'è ? la matrice identità ?
2) Quale è la differenza tra la matrice cambiamento di base e quella rappresentativa associata ad una trasformazione lineare ? la prima non è semplicemente un caso particolare della seconda ? nel senso se la matrice rappresentativa di una trasformazione lineare mi muta vettori nella loro immagine posso benissimo allora mutare una base nella sua immagine e quindi cambiare base (così da avere una matrice cambiamento di base) no ?
3) Qualcuno sa spiegarmi la diagonalizzazione simultanea di due matrici ? ho l'abeasis e il lang come testi di riferimento ma non riesco a capire a fondo ne il perchè di una tale necessità e nemmeno il significato profondo di tale operazione
Ragazzi il 10 Gennaio ho un esame e ripassando mi sono accorto di avere dei dubbi su qualcosa vi prego datemi una mano
Grazie anticipatamente
1) Quando ho un endomorfismo la matrice rappresentativa come è fatta ? o meglio: se mantengo la stessa base la matrice rappresentativa associata all'endomorfismo cos'è ? la matrice identità ?
2) Quale è la differenza tra la matrice cambiamento di base e quella rappresentativa associata ad una trasformazione lineare ? la prima non è semplicemente un caso particolare della seconda ? nel senso se la matrice rappresentativa di una trasformazione lineare mi muta vettori nella loro immagine posso benissimo allora mutare una base nella sua immagine e quindi cambiare base (così da avere una matrice cambiamento di base) no ?
3) Qualcuno sa spiegarmi la diagonalizzazione simultanea di due matrici ? ho l'abeasis e il lang come testi di riferimento ma non riesco a capire a fondo ne il perchè di una tale necessità e nemmeno il significato profondo di tale operazione
Ragazzi il 10 Gennaio ho un esame e ripassando mi sono accorto di avere dei dubbi su qualcosa vi prego datemi una mano
Grazie anticipatamente
Risposte
"xaler":
1) Quando ho un endomorfismo la matrice rappresentativa come è fatta ? o meglio: se mantengo la stessa base la matrice rappresentativa associata all'endomorfismo cos'è ? la matrice identità ?
No! Lo è solo se l'endomorfismo è l'identità, perché vorrebbe dire che i vettori della base vengono mandati in loro stessi nello spazio vettoriale di arrivo; capisci bene che è una situazione particolare.
Nel caso 1) l'unica cosa che puoi dire è che è quadrata. Stop!
"xaler":
3) Qualcuno sa spiegarmi la diagonalizzazione simultanea di due matrici ? ho l'abeasis e il lang come testi di riferimento ma non riesco a capire a fondo ne il perchè di una tale necessità e nemmeno il significato profondo di tale operazione
Il significato profondo è veramente profondo. Proprio di recente leggevo un libro di meccanica quantistica che si serviva di teoremi sulla diagonalizzazione simultanea per dare senso al concetto di "misurabilità simultanea" delle osservabili. Ma anche in algebra pura è una cosa che si ritrova, nella rappresentazione di gruppi: per esempio, se una famiglia di matrici proviene da una rappresentazione irriducibile di un gruppo abeliano, allora esse sono simultaneamente diagonalizzabili.
Il fatto è che se due endomorfismi sono simultaneamente diagonalizzabili, allora tu puoi scegliere un sistema di coordinate (=prendere una base) in modo tale da poterli descrivere tutti e due in termini molto semplici. Questo significa che tutta la loro algebra è particolarmente semplice. Sono cose che vedrai bene andando avanti con gli studi.
Quindi ricapitolando:
1) devo sempre avere due basi per avere un cambiamento (quanto è ovvio chissà perchè non mi entrava in testa avevo il cervello in panne sicuramente)
2) la matrice rappresentativa di un endomorfismo è la matrice identità se e solo se siamo in una trasformazione che trasforma i vettori di uno spazio negli stessi vettori dello stesso spazio
3) continuo a non capire la differenza (dalla definizione stessa) tra matrice cambiamento di base e matrice rappresentativa di una applicazione lineare. alla fine si tratta sempre di trasformare dei vettori di uno spazio a vettori di un altro spazio (come accade in entrambi i casi). Perchè non sono la stessa cosa ?
4) Passando alle applicazioni pratiche per svolgere un esercizio su cambiamenti di base occorrono: i due spazi di partenza e di arrivo, le due basi (se non sono date si prendono le basi canoniche che hanno la particolarità di avere coordinate uguali alle componenti del vettore della base) e la matrice che ha per colonne le coordinate dei vettori della base vecchia rispetto la nuova. E tutta questa cosa a che serve ? dato che per cambiare base le devono conoscere entrambe ? potrebbe servire a trasformare i vettori di uno spazio a vettori in un altro spazio, ma questa non è un applicazione lineare? (ritorna il punto interrogativo del punto 3).
Grazie mille per il supporto e scusate la mia testardaggine io fin quando non capisco una cosa non la giro la pagina del libro rimango bloccato li fin quando non l'ho capito bene
1) devo sempre avere due basi per avere un cambiamento (quanto è ovvio chissà perchè non mi entrava in testa avevo il cervello in panne sicuramente)
2) la matrice rappresentativa di un endomorfismo è la matrice identità se e solo se siamo in una trasformazione che trasforma i vettori di uno spazio negli stessi vettori dello stesso spazio
3) continuo a non capire la differenza (dalla definizione stessa) tra matrice cambiamento di base e matrice rappresentativa di una applicazione lineare. alla fine si tratta sempre di trasformare dei vettori di uno spazio a vettori di un altro spazio (come accade in entrambi i casi). Perchè non sono la stessa cosa ?
4) Passando alle applicazioni pratiche per svolgere un esercizio su cambiamenti di base occorrono: i due spazi di partenza e di arrivo, le due basi (se non sono date si prendono le basi canoniche che hanno la particolarità di avere coordinate uguali alle componenti del vettore della base) e la matrice che ha per colonne le coordinate dei vettori della base vecchia rispetto la nuova. E tutta questa cosa a che serve ? dato che per cambiare base le devono conoscere entrambe ? potrebbe servire a trasformare i vettori di uno spazio a vettori in un altro spazio, ma questa non è un applicazione lineare? (ritorna il punto interrogativo del punto 3).
Grazie mille per il supporto e scusate la mia testardaggine io fin quando non capisco una cosa non la giro la pagina del libro rimango bloccato li fin quando non l'ho capito bene
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