Dubbi esercizi svolti.
Vi riporto qui di seguito 3 esercizi sui quali ho qualche dubbio..potete dargli un'occhiata per vedere se sono eseguiti correttamente?
1)Sia f l'endomorfismo di M(2,2 R) che manda ogni matrice nella sua trasposta.Trovare una matrice associata ad f e provare che f è biiettiva.
Qui ho scelto le base canoniche come basi per trovare la matriceassociata (f$((1,0),(0,0))$=$((1,0),(0,0))$ f$((0,1),(0,0))$=$((0,0),(1,0))$,f$((0,0),(1,0))$=$((0,1),(0,0))$,f$((0,0),(0,1))$=$((0,0),(0,1))$...poi ho calcolato le coordinate...e le ho messe in colonna),e la matrice che ho trovato(la riporto per righe) è:$((1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1))$.
Per dimostrare se è biiettiva ho verificato se la f è iniettiva e suriettiva.
Ho verificato(per l'iniettività) che Ker f=n°di colonne-rango sia uguale a zero.Questo si verifica.
Poi ho verificato se è suriettiva,e quindi ho verificato se il rango=n°di righe.
Si verifica pure questo e quindi f è biiettiva.
2)Dato l'endomorfismo di R^3,f tc:f(1,0,0)=(1,2,3), (0,1,0)€f^-1(0,1,1), (0,0,1) è autovettore dell'autovalore 0.Provare che f non è suriettiva,trovare una base di Imf e il Ker f.Calcolare f(1,2,3).
io ho considerato f(0,1,0)=(0,1,0) e che f(0,0,1)=(0,0,0).
Poi ho considerato le basi canoniche e mi sono trovato la matrice associata:$((1,2,3),(0,1,1),(0,0,0))$.
Ho verificato che f non è suriettiva(come fatto prima).
Per calcolarmi Imf ho considerato una proposizione che mi dice:Sia f un'applicazione lineare tra 2 spazi vettoriali,se v1...vn generano V allora f(v1)...f(vn) generano Imf.Devo quindi verificare si (123),(011),(000) sono una base per Imf.
Il vettore 000 non può essere un generatore,lo scarto e ho che i generatori sono 123 e 011.Verifico se sono indipendeti,lo sono e allora formano una base.(SU QUESTO PUNTO SONO MOLTO INSICURO)
Mi calcolo il ker f.Per farlo creo la matrice $((1,0,0,0),(2,1,0,0),(3,1,0,0))$.
Le soluzioni mi danno le coordinate degli elementi di kerf rispetto alla base.
a=0=b e ho un'incognita libera(c).
Ho:
{(a,b,c):a=b=0 e clibera}.(ANCHE SU QUESTO PUNTO SONO INSICURO)
Adesso voglio sapere chi è f(1,2,3).
Prendo il vettore (123) e scrivo questo vettore come combinazione lineare rispetto ai vettori della basa canonica.
Ho:(123)=1(v1)+2(v2)+3(v3)f(123)=f(1(v1)+2(v2)+3(v3))=1f(100)+2f(010)+3f(001)=1(123)+2(011)+3(000)=(145)=f(123).3)Sia g l'endomorfismo di R^3 che rispetto alla base canonica ha matrice(per righe):$((k,1,k-1),(0,-2,4),(1,2,-1))$.
Provare che (111) è autovettore di g per ogni k.Posto k=1 discutere la diagonalizzabilità.
Il vettore 111 è combinazione lineare della base canonica.
(111)=1(100)+1(010)+1(001).Allora f(111)=f((110)+(010)+(001))=f(100)+f(010)+f(001).
Noi sappiamo che f(100)=(k 0 1) f(010)=(1 -2 2) f(001)=(1-k 4 1)
Faccio la somma e f(111)=(222)=2(111) quindi è autovettore per ogni k e 2 è autovalore.
Posto k=1
ottengo che la matrice non è diagonalizzabile.(Ho posto K=1,Trovati gli autovalori,per ognuno calcolato la dimensione dello spazio,,sommato le dimensioni ottenute e verificato se sono uguali a la dimensione di R^3)
Vi ringrazio per la pazienza che dimostrate(e avete dimostrato in questi giorni).
1)Sia f l'endomorfismo di M(2,2 R) che manda ogni matrice nella sua trasposta.Trovare una matrice associata ad f e provare che f è biiettiva.
Qui ho scelto le base canoniche come basi per trovare la matriceassociata (f$((1,0),(0,0))$=$((1,0),(0,0))$ f$((0,1),(0,0))$=$((0,0),(1,0))$,f$((0,0),(1,0))$=$((0,1),(0,0))$,f$((0,0),(0,1))$=$((0,0),(0,1))$...poi ho calcolato le coordinate...e le ho messe in colonna),e la matrice che ho trovato(la riporto per righe) è:$((1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1))$.
Per dimostrare se è biiettiva ho verificato se la f è iniettiva e suriettiva.
Ho verificato(per l'iniettività) che Ker f=n°di colonne-rango sia uguale a zero.Questo si verifica.
Poi ho verificato se è suriettiva,e quindi ho verificato se il rango=n°di righe.
Si verifica pure questo e quindi f è biiettiva.
2)Dato l'endomorfismo di R^3,f tc:f(1,0,0)=(1,2,3), (0,1,0)€f^-1(0,1,1), (0,0,1) è autovettore dell'autovalore 0.Provare che f non è suriettiva,trovare una base di Imf e il Ker f.Calcolare f(1,2,3).
io ho considerato f(0,1,0)=(0,1,0) e che f(0,0,1)=(0,0,0).
Poi ho considerato le basi canoniche e mi sono trovato la matrice associata:$((1,2,3),(0,1,1),(0,0,0))$.
Ho verificato che f non è suriettiva(come fatto prima).
Per calcolarmi Imf ho considerato una proposizione che mi dice:Sia f un'applicazione lineare tra 2 spazi vettoriali,se v1...vn generano V allora f(v1)...f(vn) generano Imf.Devo quindi verificare si (123),(011),(000) sono una base per Imf.
Il vettore 000 non può essere un generatore,lo scarto e ho che i generatori sono 123 e 011.Verifico se sono indipendeti,lo sono e allora formano una base.(SU QUESTO PUNTO SONO MOLTO INSICURO)
Mi calcolo il ker f.Per farlo creo la matrice $((1,0,0,0),(2,1,0,0),(3,1,0,0))$.
Le soluzioni mi danno le coordinate degli elementi di kerf rispetto alla base.
a=0=b e ho un'incognita libera(c).
Ho:
{(a,b,c):a=b=0 e clibera}.(ANCHE SU QUESTO PUNTO SONO INSICURO)
Adesso voglio sapere chi è f(1,2,3).
Prendo il vettore (123) e scrivo questo vettore come combinazione lineare rispetto ai vettori della basa canonica.
Ho:(123)=1(v1)+2(v2)+3(v3)f(123)=f(1(v1)+2(v2)+3(v3))=1f(100)+2f(010)+3f(001)=1(123)+2(011)+3(000)=(145)=f(123).3)Sia g l'endomorfismo di R^3 che rispetto alla base canonica ha matrice(per righe):$((k,1,k-1),(0,-2,4),(1,2,-1))$.
Provare che (111) è autovettore di g per ogni k.Posto k=1 discutere la diagonalizzabilità.
Il vettore 111 è combinazione lineare della base canonica.
(111)=1(100)+1(010)+1(001).Allora f(111)=f((110)+(010)+(001))=f(100)+f(010)+f(001).
Noi sappiamo che f(100)=(k 0 1) f(010)=(1 -2 2) f(001)=(1-k 4 1)
Faccio la somma e f(111)=(222)=2(111) quindi è autovettore per ogni k e 2 è autovalore.
Posto k=1
ottengo che la matrice non è diagonalizzabile.(Ho posto K=1,Trovati gli autovalori,per ognuno calcolato la dimensione dello spazio,,sommato le dimensioni ottenute e verificato se sono uguali a la dimensione di R^3)
Vi ringrazio per la pazienza che dimostrate(e avete dimostrato in questi giorni).
Risposte
Cerca di usare le formule però, che così si fa fatica!
"mistake89":
Cerca di usare le formule però, che così si fa fatica!
Cioè?Nel senso che ti devo scrivere le formule che uso?No perchè in tal caso quello cho ho scritto dovrebbe esserer tutto più o meno quello che ho fatto...
Edit:ho capito...certo sarà dura impararmi tutti quegli script...
Edit 2:Meglio?
Scrivi tutti i numeri e i calcoli tra $....$ cosi si leggono meglio 
"clever":
Scrivi tutti i numeri e i calcoli tra $....$ cosi si leggono meglio
Li ho colorati...vanno meglio?
No. Vanno messi tra i dollari così come è scritto nella pagina da me linkata. Non è questione di pignoleria, è che è troppo impegnativo decifrare altrimenti certi simboli
"mistake89":
No. Vanno messi tra i dollari così come è scritto nella pagina da me linkata. Non è questione di pignoleria, è che è troppo impegnativo decifrare altrimenti certi simboli
Scusami se sono così imbranato
...per le matrici ho risolto...adesso per il resto dovrebbe essere ok no?
Nessuno?
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