Dubbi di algebra lineare
scusate se apro un nuovo topic per cose che risultano probabilmente banali a molti,ma ho dubbi che non riesco a risolvere e siccome la prossima settimana ho il primo intermedio volevo cercare di sistemare un po' le idee...
I miei dubbi (per ora ,ma sono solo a metà dello studio XD) sono :
- guardando gli esercizi svolti del mio libro , noto che , la copertura lineare di un sottoinsieme di un certo spazio vettoriale, che è indicata con L(A) per esempio ed è espressa per esempio da (x,x-1..) ecc.. cioè ha delle "variabili" che ottengo scrivendo una generica comb. lin. dei vettori di A e sommando poi i vari termini , a volte è indicata solo come L((0,1,2),(1,1,1)) ( per es. non so ora se quello che ho scritto ha un senso XD) , cioè sono elencati solo i vettori?? cosa cambia c'è qualche differenza?
-in un esercizio dovevo fare l'intersezione di 2 coperture lineari : L(S)={(2x,-2y+z,0,x-z)} e L(S')={(a,0,a+b,0)} .Ho messo la prima uguale alla seconda, ma poi come devo fare ?Ciò uguaglio i due generici vettori ma non riesco,nel sistema, a trovare qualcosa che abbia senso..
-infine,questa non è una vera e propria domanda .. mi chiedevo solo se qualcuno potesse dirmi in parole più semplici rispetto a quelle del libro come si trova un complemento diretto che proprio non capisco XD...
Scusate se dopo poco che sono registrato rompo già con un mucchio di dubbi forse stupidi ma mi sto veramente incasinando con algebra... XD ...
I miei dubbi (per ora ,ma sono solo a metà dello studio XD) sono :
- guardando gli esercizi svolti del mio libro , noto che , la copertura lineare di un sottoinsieme di un certo spazio vettoriale, che è indicata con L(A) per esempio ed è espressa per esempio da (x,x-1..) ecc.. cioè ha delle "variabili" che ottengo scrivendo una generica comb. lin. dei vettori di A e sommando poi i vari termini , a volte è indicata solo come L((0,1,2),(1,1,1)) ( per es. non so ora se quello che ho scritto ha un senso XD) , cioè sono elencati solo i vettori?? cosa cambia c'è qualche differenza?
-in un esercizio dovevo fare l'intersezione di 2 coperture lineari : L(S)={(2x,-2y+z,0,x-z)} e L(S')={(a,0,a+b,0)} .Ho messo la prima uguale alla seconda, ma poi come devo fare ?Ciò uguaglio i due generici vettori ma non riesco,nel sistema, a trovare qualcosa che abbia senso..
-infine,questa non è una vera e propria domanda .. mi chiedevo solo se qualcuno potesse dirmi in parole più semplici rispetto a quelle del libro come si trova un complemento diretto che proprio non capisco XD...
Scusate se dopo poco che sono registrato rompo già con un mucchio di dubbi forse stupidi ma mi sto veramente incasinando con algebra... XD ...
Risposte
Com'è definita la copertura lineare?
"sia uno spazio vettoriale V(K) e A un sistema non vuoto di vettori di V.Si dice copertura lineare di A l insieme dei vettori di V(K) che si possono esprimere come comb. lin. di un numero finito di vettori di A."
Grazie della risposta molto dettagliata !
Ora però ho un altro dubbio questa volta su un esercizio,e per non aprire un nuovo topic proseguo qui .
La traccia è la seguente :"In R^3(R) con il prodotto scalare euclideo si considerino l’insieme di vettori A = {w1 = (1, 2, 3),w2 =
(0, 2, 0), w3 = (−2, 4, −6)}. Si determinino:
• la chiusura L(A) dell’insieme A; .... ecc... "
Sono fermo su questo primo punto,poichè non mi ritrovo con la soluzione che viene data che è :
"Risposta L(A) = {(a, 2a + 2b, 3a) ∈ R^3 | α, β ∈ R}"
mentre per me la copertura lineare sarebbe "L(A) = {(a-2c, 2a + 2b +4c, 3a-6c) ∈ R^3 | α, β ∈ R}"
Dove sbaglio?
Ora però ho un altro dubbio questa volta su un esercizio,e per non aprire un nuovo topic proseguo qui .
La traccia è la seguente :"In R^3(R) con il prodotto scalare euclideo si considerino l’insieme di vettori A = {w1 = (1, 2, 3),w2 =
(0, 2, 0), w3 = (−2, 4, −6)}. Si determinino:
• la chiusura L(A) dell’insieme A; .... ecc... "
Sono fermo su questo primo punto,poichè non mi ritrovo con la soluzione che viene data che è :
"Risposta L(A) = {(a, 2a + 2b, 3a) ∈ R^3 | α, β ∈ R}"
mentre per me la copertura lineare sarebbe "L(A) = {(a-2c, 2a + 2b +4c, 3a-6c) ∈ R^3 | α, β ∈ R}"
Dove sbaglio?
Al solito... Prova a postare i conti che hai svolto...
ah si ..chiedo scusa...
Ho scritto la generica combinazione dei vettori di A come :
a(1,2,3)+b(0,2,0)+c(-2,4,-6) e svolgendo i conti : (a,2a,3a)+(0,2b,0)+(-2c,4c,-6c) -----> (a-2c,2a+2b+4c,3a-6c)
e L(A) è quindi l'insieme dei vettori che si possono esprimere come combinazione lineare dei vettori di A,quindi è l'insieme di tutti i vettori con questa forma :
L(A)={(a-2c, 2a + 2b +4c, 3a-6c) ∈ R^3 | α, β ∈ R} ..
non è giusto così?
Ho scritto la generica combinazione dei vettori di A come :
a(1,2,3)+b(0,2,0)+c(-2,4,-6) e svolgendo i conti : (a,2a,3a)+(0,2b,0)+(-2c,4c,-6c) -----> (a-2c,2a+2b+4c,3a-6c)
e L(A) è quindi l'insieme dei vettori che si possono esprimere come combinazione lineare dei vettori di A,quindi è l'insieme di tutti i vettori con questa forma :
L(A)={(a-2c, 2a + 2b +4c, 3a-6c) ∈ R^3 | α, β ∈ R} ..
non è giusto così?
E' corretto. Il fatto è che $w_3$ è combinazione lineare di $w_1$ e $w_2$. Quindi basterebbero $w_1 , w_2$ a generare $L(A)$. Allora puoi porre $c = 0$.
Quindi se avessi lasciato il risultato finale così come l'ho trovato io non avrei commesso un errore?
Quindi se bastano quei 2 vettori posso anche dire che quei 2 vettori formano anche una base di L(A)?Io pensavo che il discorso della dipendenza mi interessasse solo quando vado a cercare una base e che per creare la copertura lineare invece potessi usare a prescindere vettori linearmente dipendenti o indipendenti..
Quindi se bastano quei 2 vettori posso anche dire che quei 2 vettori formano anche una base di L(A)?Io pensavo che il discorso della dipendenza mi interessasse solo quando vado a cercare una base e che per creare la copertura lineare invece potessi usare a prescindere vettori linearmente dipendenti o indipendenti..
"Bigz92":
Quindi se avessi lasciato il risultato finale così come l'ho trovato io non avrei commesso un errore?
Quindi se bastano quei 2 vettori posso anche dire che quei 2 vettori formano anche una base di L(A)?Io pensavo che il discorso della dipendenza mi interessasse solo quando vado a cercare una base e che per creare la copertura lineare invece potessi usare a prescindere vettori linearmente dipendenti o indipendenti..
Ma infatti non è un errore (anche se credo lo scopo dell'esercizio fosse di accorgersi che sono sufficienti due vettori a generare quel sottospazio lineare), sarebbe stato corretto lasciare il tuo risultato. Comunque osserva che $w_1 , w_2$ sono linearmente indipendenti e generano $L(A)$ quindi, giustamente, sono una base del sottospazio generato.
ok ora mi è chiarissimo ! Grazieeee !!!
Figurati.
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