Dubbi circa matrice canonicamente associata a endomorfismo e teorema del rango
Salve a tutti!
Ho un endomorfismo $ T $ da $ R^3 $ a $ R^3 $ definito come:
$ T(1,0,1) = (1,1,3) $
$ T(0,0,4) = (1,7,0) $
$ T(0,4,1) = (1,0,0) $
Di cui mi viene chiesto la matrice canonicamente associata, la dimensione del nucleo e dell'immagine.
Per la matrice canonicamente associata, ho determinato $ T(1,0,0) $, $ T(0,1,0) $ e $ T(0,0,1) $ come:
$ T(0,0,1) = 1/4 T(0,0,4) = (1/4,7/4,0) $
$ T(1,0,0) = T(1,0,1) - T(0,0,1) = (3/4,-3/4,3) $
$ T(0,1,0) =1/4( T(0,4,1) - T(0,0,1) )= (3/16,-7/16,0) $
Per cui la matrice associata sarà:
$ A=( ( 3/4 , -3/4 , 3 ),( 3/16 , -7/16 , 0 ),( -1/4 , 7/4 , 0 ) ) $
Tutto corretto fin qui?
Dopo di che, ho pensato di applicare il teorema delle dimensioni del rango nelle sue due formulazioni: innanzitutto so che la dimensione del nucleo è uguale al numero di colonne della matrice meno il rango della matrice.
Per cui $ rank A $ lo calcolo come l'ordine del minore più grande con determinante diverso da zero, che in questo caso è la matrice stessa per cui $ rank A = 3 $. Da cui:
$ dim(ker(T))=rank (A) - m=0 $
Poi so che la dimensione dell'immagine è ugugale al numero di righe meno la dimensione del nucleo, per cui:
$ dim(Im(T))=n -dim(ker(T)) = 3$
Quante castronerie ho detto?
Ho un endomorfismo $ T $ da $ R^3 $ a $ R^3 $ definito come:
$ T(1,0,1) = (1,1,3) $
$ T(0,0,4) = (1,7,0) $
$ T(0,4,1) = (1,0,0) $
Di cui mi viene chiesto la matrice canonicamente associata, la dimensione del nucleo e dell'immagine.
Per la matrice canonicamente associata, ho determinato $ T(1,0,0) $, $ T(0,1,0) $ e $ T(0,0,1) $ come:
$ T(0,0,1) = 1/4 T(0,0,4) = (1/4,7/4,0) $
$ T(1,0,0) = T(1,0,1) - T(0,0,1) = (3/4,-3/4,3) $
$ T(0,1,0) =1/4( T(0,4,1) - T(0,0,1) )= (3/16,-7/16,0) $
Per cui la matrice associata sarà:
$ A=( ( 3/4 , -3/4 , 3 ),( 3/16 , -7/16 , 0 ),( -1/4 , 7/4 , 0 ) ) $
Tutto corretto fin qui?
Dopo di che, ho pensato di applicare il teorema delle dimensioni del rango nelle sue due formulazioni: innanzitutto so che la dimensione del nucleo è uguale al numero di colonne della matrice meno il rango della matrice.
Per cui $ rank A $ lo calcolo come l'ordine del minore più grande con determinante diverso da zero, che in questo caso è la matrice stessa per cui $ rank A = 3 $. Da cui:
$ dim(ker(T))=rank (A) - m=0 $
Poi so che la dimensione dell'immagine è ugugale al numero di righe meno la dimensione del nucleo, per cui:
$ dim(Im(T))=n -dim(ker(T)) = 3$
Quante castronerie ho detto?
Risposte
Ciao, hai confuso righe con colonne nel trovare la matrice associata alla base canonica (attento che hai sbagliato riscrivendo il segno di $1/4$ nella matrice) perchè ti ricordo che la matrice associata alla base canonica sia nel dominio che nel codominio rispetto ad una $f$ è quella matrice che ha per colonne le $f(e_1)$, $f(e_2)$, etc.
Per cui la nostra matrice associata sarà:
$((3/4,3/16,1/4),(-3/4,-7/16,7/4),(3,0, 0 ))$
A questo punto io adopererei una semplice riduzione:
$C_2 \to 4C_2$
$C_3 \to C_2+C_3$
Così sappiamo subito che il rango è 3 visto che la matrice ridotta per colonne ha 3 colonne non nulle.
Se prendiamo il sistema omogeneo associato alla matrice ridotta vediamo che ha come unica soluzione $(0,0,0)$ che è l'unico elemento del $ker(T)$ ne consegue che $dim(ker(T))=0$.
Per il noto teorema sulle dimensione $dim(RR^3)-dim(ker(T))=dim(Im(T))=3$.
Non conoscevo sinceramente il tuo metodo quindi ho appreso qualcosa in più
Per cui la nostra matrice associata sarà:
$((3/4,3/16,1/4),(-3/4,-7/16,7/4),(3,0, 0 ))$
A questo punto io adopererei una semplice riduzione:
$C_2 \to 4C_2$
$C_3 \to C_2+C_3$
Così sappiamo subito che il rango è 3 visto che la matrice ridotta per colonne ha 3 colonne non nulle.
Se prendiamo il sistema omogeneo associato alla matrice ridotta vediamo che ha come unica soluzione $(0,0,0)$ che è l'unico elemento del $ker(T)$ ne consegue che $dim(ker(T))=0$.
Per il noto teorema sulle dimensione $dim(RR^3)-dim(ker(T))=dim(Im(T))=3$.
Non conoscevo sinceramente il tuo metodo quindi ho appreso qualcosa in più
E io non conoscevo il tuo, quindi grazie e grazie anche per la correzione! 
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