Dubbi base ortogonale

[dropino]

Salve a tutti!
Avrei alcuni dubbi sul come trovare una base ortogonale del nucleo/immagine di una trasformazione lineare.

Da quanto ho capito il procedimento per calcolare una base ortogonale dell'immagine consiste in::
1) trovare la matrice associata
2) ridurre con gauss -> dimensione dell'immagine = rango della matrice ridotta
3) prendere un numero di colonne dalla matrice non ridotta uguale alla dimensione dell'immagine e questa sarà già una base
4)la rendo ortogonale con graham schmidt

Per quanto riguarda la base del nucleo la faccenda mi è meno chiara:
1) trovo la matrice associata A
2) determino la dimensione del nucleo (riduco con gauss e poi dim(ker)=n-r(A)).

Non so se quello che ho scritto fin'ora è corretto, in ogni caso non mi è chiaro come trovare una base del nucleo, anche se so già di doverla poi ortagonalizzare con graham Schmidt.

grazie mille in anticipo!

[feddy]

Per trovare una base del $\ker(f)$ è necessario risolvere il sistema lineare $A \vec{x} = \vec{0}$. Si tratta di determinare i vettori che vengono mappati a $0$ mediante $f$, che, fissata una base, viene appunto rappresentata mediante la matrice $A$ qui sopra dove l'operazione $f(v)$ viene tradotta in nel prodotto matrice-vettore.
Poiché il nucleo è un sottospazio vettoriale (segue dalla linearità), si dimostra la formula che citavi sopra (nullità più rango, o thm delle dimensioni, formula delle dimensioni, insomma ha diversi nomi) e si possono ricavare le dimensioni di ciò che ti serve, e dunque estrarre la base dell'immagine (nel caso non ce l'avessi). Ovviamente vale anche il viceserva: se hai la dimensione dell'immagine, allora puoi ricavarti quella del nucleo, estrarre una base e ortogonalizzarla con gram-schmidt. Può essere anche usata come valido controllo del fatto se si sono fatti errori o meno.