Dualità di Poincaré

[Pierlu11]

Salve, sto cercando da giorni un libro o delle dispense online dove poter trovare la versione della dualità di Poincaré che spiega la simmetria orizzontale nel diamante di Hodge, ma non riesco a trovare nulla.
L'unica versione che ho trovato è quella classica, cioé \( H_k(M,\mathbb{Z} )\simeq H^{n-k}(M,\mathbb{Z}) \) , che non mi aiuta in alcun modo o almeno non vedo un collegamento immediato. Qualcuno può aiutarmi?

[killing_buddha]

Che cosa intendi per " la versione della dualità di Poincaré che spiega la simmetria orizzontale nel diamante di Hodge"? A determinare la simmetria rispetto all'asse verticale nel diamante è unicamente il coniugio (è un fatto relativo alla parità del prodotto tensoriale).

[Pierlu11]

Infatti intendo motivare la simmetria rispetto all'asse orizzontale, non rispetto a quello verticale che come giustamente dici è data dalla dualità di Hodge. Anche se una giustificazione di tale simmetria è la combinazione delle dualità di Serre e Hodge, non riesco a dimostrarla indipendentemente da queste e usando la dualità di Poincaré (come mi è stato invece detto).
Per ora, l'unica cosa nuova che ho trovato è che la forma bilineare \( H^k(M,\mathbb{C})\otimes H^{2n-k}(M,\mathbb{C})\longrightarrow \mathbb{C} \) mi dice che \( dim(H^k(M,\mathbb{C}))=dim( H^{2n-k}(M,\mathbb{C})) \) (che da solo la simmetria dei numeri di Betti).