Duale
salve ragazzi! una domanda veloce... c'è qualcuno che mi sà dire quale è/come è fatto il duale di $L^1$?...
o, altrimenti, qualche tecnica per verificare se una sequenza in L^1 converge debolmente? (ovviamente una sequenza che non converga fortemente)...
lunedì andrò a comprare un libro di analisi funzionale, però vorrei sapere la risposta a questa domanda un pò prima
....
ciao!
o, altrimenti, qualche tecnica per verificare se una sequenza in L^1 converge debolmente? (ovviamente una sequenza che non converga fortemente)...
lunedì andrò a comprare un libro di analisi funzionale, però vorrei sapere la risposta a questa domanda un pò prima
....ciao!
Risposte
il duale di $L^1$ è $L^00$ però non vale il viceversa, perchè il duale di $L^00$ è più grande.
thx
Non è che sia esattamente $L^\infty$, il duale di $L^1$ è isometricamente isomorfo ad $L^\infty$.
si hai ragione...notevole abuso di linguaggio... scusa 
mmm... un attimo... quando miemiua dice che il duale è L^(infinito) intende dire che ad ogni funzione L^infinito si associa una lineare e continua da L^1 in R, ovvero l'integrale della funzione L^infinito moliplicata quella L^1... e per OGNI funzione lineare e continua esiste una funzione L^infinito di tal fatta... e vi è una bigezione tra i due insiemi... e questo è utile per verificare la convergenza debole... è così?
cosa importa sapere che la bigezione in realtà è una isometria nelle metriche dei due spazi per questi discorsi (cosa del resto interessante)?
ps: Luca ma sul Brezis tutte queste cose le trovo???
cosa importa sapere che la bigezione in realtà è una isometria nelle metriche dei due spazi per questi discorsi (cosa del resto interessante)?
ps: Luca ma sul Brezis tutte queste cose le trovo???
scusate ma stamattina sto cercando di mettere un pò di ordine su alcune cose e devo dire che ci capisco pochino... potete dirmi se quanto scrivo è corretto? con $(d->)$ indico la convergenza debole...
CLAIM: $f_n (d->) f$ in $W^(1,p)$ $=>$ $f_n (d->) f$ in $L^p$ e $f' (d->)f$ in $L^p$.
dim claim: osservo che $W^(1,p)$ può essere dotato di due topologie:
- la topologia classica, quella dalla norma $||*||_(W^(1,p))$;
- la topologia di sottospazio di $L^(p)$ (è cmq anche un sottospazio vettoriale);
si nota inoltre che la topologia come sottospazio è più fine della prima; prendendo quindi $W^(1,p)$ posso considerare la topologia debole indotta da entrambe queste topologie e concludere che la topologia debole su $W^(1,p)$ che deriva dall'essere sottospazio di $L^p$ è più fine di quella debole che deriva dalla norma.
Ma allora la convergenza debole secondo la topologia derivata dalla norma implica la convergeza secondo la topologia debole derivata dal sottospazio.
Ora si osserva che prendendo la topologia di sottospazio e facendo la topologia debole su di questo, si trova la medesima topologia che trovando prima la topologia debole su $L^1$ e poi cercando la topologia di sottospazio.
quindi la convergenza implicata da quella debole in norma su $W^(1,p)$ è proprio quella debole in $L^p$. Questo dice che
$f_n (d->) f$ in $L^p$.
Per la derivata prima si può ragionare in modo analogo.
CLAIM: $f_n (d->) f$ in $L^p$ e $f' (d->)f$ in $L^p$ $=>$ esiste una sottosuccessione che converge nella topologia debole di $W^(1,p)$ derivata dalla norma se $p>1$.
dim claim: dall'ipotesi si ha che $f_n$ ed $f'_n$ sono limitate in norma $L^p$ e quindi $f_n$ è limitata in norma $W^(1,p)$. Quindi si ha che $f_n$ è contenuto in un insieme compatto per debole star (Alaoglu). Inoltre la topologia debole star è uguale a quella debole perchè per $p>1$ $W(1,p)$ è riflessivo. Ora per (Erbelein-Smulien) se un insieme è relativamente debolmente compatto è compatto per successioni, quindi esiste una sottosuccessione debolmente convergente. Applicando il CLAIM uno, si trova che questa sottosuccessione stà convergendo debolmente proprio alla f...
Inoltre, gli enunciati si possono migliorare? cosa succede se $p=1$ nel secondo enunciato? (per p=1 non riesco ad applicare Erbulein Smulien che ce l'ho scritto solo per topologie deboli ed invece Alaoglu solo per dobole star)
ringrazio IMMENSAMENTE chi mi darà una mano...
CLAIM: $f_n (d->) f$ in $W^(1,p)$ $=>$ $f_n (d->) f$ in $L^p$ e $f' (d->)f$ in $L^p$.
dim claim: osservo che $W^(1,p)$ può essere dotato di due topologie:
- la topologia classica, quella dalla norma $||*||_(W^(1,p))$;
- la topologia di sottospazio di $L^(p)$ (è cmq anche un sottospazio vettoriale);
si nota inoltre che la topologia come sottospazio è più fine della prima; prendendo quindi $W^(1,p)$ posso considerare la topologia debole indotta da entrambe queste topologie e concludere che la topologia debole su $W^(1,p)$ che deriva dall'essere sottospazio di $L^p$ è più fine di quella debole che deriva dalla norma.
Ma allora la convergenza debole secondo la topologia derivata dalla norma implica la convergeza secondo la topologia debole derivata dal sottospazio.
Ora si osserva che prendendo la topologia di sottospazio e facendo la topologia debole su di questo, si trova la medesima topologia che trovando prima la topologia debole su $L^1$ e poi cercando la topologia di sottospazio.
quindi la convergenza implicata da quella debole in norma su $W^(1,p)$ è proprio quella debole in $L^p$. Questo dice che
$f_n (d->) f$ in $L^p$.
Per la derivata prima si può ragionare in modo analogo.
CLAIM: $f_n (d->) f$ in $L^p$ e $f' (d->)f$ in $L^p$ $=>$ esiste una sottosuccessione che converge nella topologia debole di $W^(1,p)$ derivata dalla norma se $p>1$.
dim claim: dall'ipotesi si ha che $f_n$ ed $f'_n$ sono limitate in norma $L^p$ e quindi $f_n$ è limitata in norma $W^(1,p)$. Quindi si ha che $f_n$ è contenuto in un insieme compatto per debole star (Alaoglu). Inoltre la topologia debole star è uguale a quella debole perchè per $p>1$ $W(1,p)$ è riflessivo. Ora per (Erbelein-Smulien) se un insieme è relativamente debolmente compatto è compatto per successioni, quindi esiste una sottosuccessione debolmente convergente. Applicando il CLAIM uno, si trova che questa sottosuccessione stà convergendo debolmente proprio alla f...
Inoltre, gli enunciati si possono migliorare? cosa succede se $p=1$ nel secondo enunciato? (per p=1 non riesco ad applicare Erbulein Smulien che ce l'ho scritto solo per topologie deboli ed invece Alaoglu solo per dobole star)
ringrazio IMMENSAMENTE chi mi darà una mano...
Mmmm.. la convergenza debole in $W^(1,p)$, per definizione, è forte in $L^p$ e debole sulle derivate...
@Luca: ok... se ho ben capito, gli enunciati sono corretti, ed il primo si può rafforzare con la tesi che la f stà convergendo fortemente in L^p, mentre il secondo per p=1 pare essere falso...
cmq ora sono nei casini...
supponiamo che il CLAIM2 sia vero, allora:
-> non mi pare che nella dimostrazione cambi qualcosa se invece che la successione iniziale si consideri una sotto-successione. Quindi in realtà parrebbe di concludere che L'INTERA successione stia convergendo debolmente ad $f$ in $W(1,p)$;
-> consideriamo quindi che il CLAIM 1 ed il CLAIM 2 per come li ho scritti prima, ma con la nuova tesi per il secondo, sono proprio l'uno l'inverso dell'altro, da cui si dedurrebbe una condizione necessaria e sufficiente per $p>1$ per convergere debolmente in $W^(1,p)$, ovvero:
[1] "la convergenza in $W(1,p)$ per p>1 equivale alla convergenza debole in L^p della funzione e della sua derivata"
è corretto??? lo so, non è ottimale... sarebbe bello ora dimostrare l'equivalenza di questo con l'altra tua definizione:
[2] "la convergenza in $W(1,p)$ per p>1 equivale alla convergenza forte in L^p della funzione e debole sua derivata"
in cui una freccia [1]=>[2] la so fare, credo (è quella che ti ho detto su msn);
ora [2]=>[1] è banale perchè la convergenza forte implica quella debole....
cmq ora sono nei casini...
supponiamo che il CLAIM2 sia vero, allora:
-> non mi pare che nella dimostrazione cambi qualcosa se invece che la successione iniziale si consideri una sotto-successione. Quindi in realtà parrebbe di concludere che L'INTERA successione stia convergendo debolmente ad $f$ in $W(1,p)$;
-> consideriamo quindi che il CLAIM 1 ed il CLAIM 2 per come li ho scritti prima, ma con la nuova tesi per il secondo, sono proprio l'uno l'inverso dell'altro, da cui si dedurrebbe una condizione necessaria e sufficiente per $p>1$ per convergere debolmente in $W^(1,p)$, ovvero:
[1] "la convergenza in $W(1,p)$ per p>1 equivale alla convergenza debole in L^p della funzione e della sua derivata"
è corretto??? lo so, non è ottimale... sarebbe bello ora dimostrare l'equivalenza di questo con l'altra tua definizione:
[2] "la convergenza in $W(1,p)$ per p>1 equivale alla convergenza forte in L^p della funzione e debole sua derivata"
in cui una freccia [1]=>[2] la so fare, credo (è quella che ti ho detto su msn);
ora [2]=>[1] è banale perchè la convergenza forte implica quella debole....
ok.... in realtà mi sembrava non tornare all'inizio del post, ma invece i pezzi del puzzle sembrano combinarsi bene (almeno in questo argomento), che ne pensi?
rimane un pò inquietante il caso $p=1$...
rimane un pò inquietante il caso $p=1$...
Il caso $p=1$ richiede di andare in uno spazio piu' grande, poiche' non siamo in un riflessivo, devi andare nello spazio delle misure per avere compattezza delle successioni fortemente limitate.
si poi sto scoprendo che i risultati sopra sono BEN LUNGI dall'essere ottimali... in molti casi si trova addirittura convergenza uniforme... pian piano mi farò un'idea... grazie cmq!
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