Dominio connesso e compatto - risoluzione esercizio.
Ciao ragazzi, ho questo problema.
L'esercizio mi chiede di stabilire il dominio dei parametri in modo tale che siano rispettate le condizioni di spazio connesso e compatto.
Ho la seguente parametrizzazione: $(u^2 - v^2; u*v; u^2 + v^2)$.
A primo impatto mi verrebbe da dire che per avere uno spazio connesso e compatto il dominio di $(u,v)$ deve essere definito da $u, v in RR^3$ e quindi senza limitazioni. Solo che, stando a quanto dice il prof, non è abbastanza.
Come mai? Cosa dovrei aggiungere alla mia definizione?
P.s.
Per quanto riguarda la definizione di dominio connesso e compatto credo di essere un pò in confusione. So che un dominio per essere definito connesso non deve avere "buchi". Quindi io riesco a riconoscere uno spazio connesso "vedendo/immaginando" il suo dominio di appartenenza. Mi manca diciamo la definizione formale ecco... Stessa cosa dicasi anche per la definizione di compatto. Qualche suggerimento?
L'esercizio mi chiede di stabilire il dominio dei parametri in modo tale che siano rispettate le condizioni di spazio connesso e compatto.
Ho la seguente parametrizzazione: $(u^2 - v^2; u*v; u^2 + v^2)$.
A primo impatto mi verrebbe da dire che per avere uno spazio connesso e compatto il dominio di $(u,v)$ deve essere definito da $u, v in RR^3$ e quindi senza limitazioni. Solo che, stando a quanto dice il prof, non è abbastanza.
Come mai? Cosa dovrei aggiungere alla mia definizione?
P.s.
Per quanto riguarda la definizione di dominio connesso e compatto credo di essere un pò in confusione. So che un dominio per essere definito connesso non deve avere "buchi". Quindi io riesco a riconoscere uno spazio connesso "vedendo/immaginando" il suo dominio di appartenenza. Mi manca diciamo la definizione formale ecco... Stessa cosa dicasi anche per la definizione di compatto. Qualche suggerimento?
Risposte
Conosco la definizione di connessione per cammini e la definizione di semplice connessione. Per quanto riguarda la prima se pensi ad un insieme come ad una forma su un piano e prendi due punti, devi essere in grado di disegnare una linea continua che unisce i punti senza che questa fuoriesca dall'insieme.
Per quanto riguarda la semplice connessione, se dato un insieme connesso per cammini e fissato un punto ed un cammino che inizia e finisce nel punto riesci a contrarre con continuità il cammino fino ad identificarlo con il punto allora l'insieme è semplicemente connesso. Ovviamente il procedimento descritto deve valere per ogni punto.
Per la compattezza puoi usare la proprietà di Heine-Borel. Un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^{n}\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Se ti servono le definizioni formali dovresti guardare sul libro.
Per quanto riguarda la semplice connessione, se dato un insieme connesso per cammini e fissato un punto ed un cammino che inizia e finisce nel punto riesci a contrarre con continuità il cammino fino ad identificarlo con il punto allora l'insieme è semplicemente connesso. Ovviamente il procedimento descritto deve valere per ogni punto.
Per la compattezza puoi usare la proprietà di Heine-Borel. Un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^{n}\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Se ti servono le definizioni formali dovresti guardare sul libro.
Beh hai una funzione definita nel piano, a valori nello spazio, le singoli componenti sono continue e lo è quindi anche la funzione, a questo punto se parti da un dominio connesso e compatto nel piano, trovi un'immagine connessa e compatta. I compatti nel piano sono chiusi e limitati, i connessi sono quelli che non sono unione di insiemi separati.
"5mrkv":
Conosco la definizione di connessione per cammini e la definizione di semplice connessione. Per quanto riguarda la prima se pensi ad un insieme come ad una forma su un piano e prendi due punti, devi essere in grado di disegnare una linea continua che unisce i punti senza che questa fuoriesca dall'insieme.
Per quanto riguarda la semplice connessione, se dato un insieme connesso per cammini e fissato un punto ed un cammino che inizia e finisce nel punto riesci a contrarre con continuità il cammino fino ad identificarlo con il punto allora l'insieme è semplicemente connesso. Ovviamente il procedimento descritto deve valere per ogni punto.
Per la compattezza puoi usare la proprietà di Heine-Borel. Un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^{n}\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Se ti servono le definizioni formali dovresti guardare sul libro.
Grazie, sei stato molto chiaro! Era proprio a livello intuitivo che non riuscivo ad "arrivarci"!!
"regim":
Beh hai una funzione definita nel piano, a valori nello spazio, le singoli componenti sono continue e lo è quindi anche la funzione, a questo punto se parti da un dominio connesso e compatto nel piano, trovi un'immagine connessa e compatta. I compatti nel piano sono chiusi e limitati, i connessi sono quelli che non sono unione di insiemi separati.
Mmmmm... Qui invece non riesco a comprendere bene..! Potresti farmi un esempio (specifico al mio caso)?!
Grazie comunque per la risposta!!
Posso uppare!?
Non so bene cosa devi fare ma non ti basta prendere un insieme del tipo:
\[
\{x\in \mathbb{R}^{2}|\ (x_{0}^{2}+x_{1}^{2})^{1/2}\leq a \in \mathbb{R}^{+}\}
\]
(palla di raggio \(a\) centrata nell'origine) Non ci sono buchi. E' chiuso nella topologia delle palle aperte. E' anche limitato. Tu avevi detto di prendere come dominio tutto il piano ma mancava la limitatezza perché fosse compatto. E' così?
\[
\{x\in \mathbb{R}^{2}|\ (x_{0}^{2}+x_{1}^{2})^{1/2}\leq a \in \mathbb{R}^{+}\}
\]
(palla di raggio \(a\) centrata nell'origine) Non ci sono buchi. E' chiuso nella topologia delle palle aperte. E' anche limitato. Tu avevi detto di prendere come dominio tutto il piano ma mancava la limitatezza perché fosse compatto. E' così?
"5mrkv":
Non so bene cosa devi fare ma non ti basta prendere un insieme del tipo:
\[
\{x\in \mathbb{R}^{2}|\ (x_{0}^{2}+x_{1}^{2})^{1/2}\leq a \in \mathbb{R}^{+}\}
\]
(palla di raggio \(a\) centrata nell'origine) Non ci sono buchi. E' chiuso nella topologia delle palle aperte. E' anche limitato. Tu avevi detto di prendere come dominio tutto il piano ma mancava la limitatezza perché fosse compatto. E' così?
In pratica devo trovare appunto il dominio dei parametri $u, v$ affinché il dominio sia connesso e compatto.
Ora, sostituendo $x_{0}$ ed $x_{1}$ con $u$ e $v$ rispettivamente, la definizione che hai dato continua ad essere valida?!
Intanto grazie di nuovo per la risposta!
Quello che ti ho dato è un insieme con questa forma link. Penso che come forma sia equivalente a
\[
A=\{x\in \mathbb{R}^{2}|\ x_{0}^{2}+x_{1}^{2}\leq 1 \in \mathbb{R}^{+}\}
\]
così eliminiamo la radice. Ho posto \(a=1\) per ottenere la palla unitaria. Se la tua funzione è definita per ogni \(x\) appartenente a tale insieme allora dovresti essere a cavallo. Ovvero andando a sostituire la funzione deve avere senso. Se nella tua funzione hai \(1/x=1/(x_{0},x_{1})\) allora non è definita al centro e \(A-(0,0)\) non è più un dominio semplicemente connesso. Vedendo però la funzione che hai scritto nel primo post mi sembra che non ci siano problemi di questo tipo.
\[
A=\{x\in \mathbb{R}^{2}|\ x_{0}^{2}+x_{1}^{2}\leq 1 \in \mathbb{R}^{+}\}
\]
così eliminiamo la radice. Ho posto \(a=1\) per ottenere la palla unitaria. Se la tua funzione è definita per ogni \(x\) appartenente a tale insieme allora dovresti essere a cavallo. Ovvero andando a sostituire la funzione deve avere senso. Se nella tua funzione hai \(1/x=1/(x_{0},x_{1})\) allora non è definita al centro e \(A-(0,0)\) non è più un dominio semplicemente connesso. Vedendo però la funzione che hai scritto nel primo post mi sembra che non ci siano problemi di questo tipo.
Proviamo a vedere com'è fatta questa funzione:
$x+z=2u^2$
$z-x=2v^2$
$4y^2=z^2-x^2$
$x^2+4y^2-z^2=0$
Si tratta di un cono, dove però sei vincolato ad avere la z≥0, per definizione, quindi:
$z=sqrt(x^2+4y^2)$
È evidente che prendendo una retta che tagli in due punti il cono, questo avrà un'infinità di punti che non appartengono al cono, quindi non è connesso semplicemente, mentre è connesso per archi.
$x+z=2u^2$
$z-x=2v^2$
$4y^2=z^2-x^2$
$x^2+4y^2-z^2=0$
Si tratta di un cono, dove però sei vincolato ad avere la z≥0, per definizione, quindi:
$z=sqrt(x^2+4y^2)$
È evidente che prendendo una retta che tagli in due punti il cono, questo avrà un'infinità di punti che non appartengono al cono, quindi non è connesso semplicemente, mentre è connesso per archi.
@Maci86 non avevo riflettuto sul fatto che la superficie fosse un cono. A questo punto quindi, tu che dominio daresti ai due parametri $u, v$?! Allo stesso modo di 5mrkv?
@5mrkv con la tua risposta ci sono... Cioè, ho capito cosa vuoi dire (ho capito anche il controesempio che hai dato). Solo che ora la risposta di Maci86 mi ha messo qualche dubbio in più...!!
@5mrkv con la tua risposta ci sono... Cioè, ho capito cosa vuoi dire (ho capito anche il controesempio che hai dato). Solo che ora la risposta di Maci86 mi ha messo qualche dubbio in più...!!
Credo di aver sbagliato, intendevo convesso e non semplicemente connesso, lavorando con le rette. Però in realtà potresti schiacciare il cono su un piano e mostrare che è connesso semplicemente.. I parametri possono assumer ogni valore, direi..
"Maci86":
Credo di aver sbagliato, intendevo convesso e non semplicemente connesso, lavorando con le rette. Però in realtà potresti schiacciare il cono su un piano e mostrare che è connesso semplicemente.. I parametri possono assumer ogni valore, direi..
Ecco, il problema è proprio questo..! Il professore mi ha detto che non basta dire $u,v in RR$. Vorrebbe che limitassi i valori, in modo tale che, forse, (convenendo così con 5mrkv) il dominio sia anche compatto.
A questo punto credete sia giusto definire i parametri in questo modo?
$(u, v) in {u^2 + 4*v^2 <= 1 }$
Definisco così perchè in effetti la superficie è un cono ellittico e allora uso l'ellisse generale per definire il mio dominio..!
E perché proprio con quel livello?
Mmmmm... Hai ragione. Solo che ho pensato che nel dominio impostato da 5mrkv ho la circonferenza (chiamiamola) "massima" che comprenderebbe quindi anche punti al di fuori dell'ellisse "massimo"... Giusto? Per questo sto cercando di trovare un'equazione generica dell'ellisse che comprenda unicamente il cono (ad ogni livello)..
P.s.
Bastonatemi se sto sbagliando..](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
P.s.
Bastonatemi se sto sbagliando..
Scusa, prova a prendere il nostro cono e schiacciarlo, non copre (senza buchi) tutto il piano?
"Maci86":
Scusa, prova a prendere il nostro cono e schiacciarlo, non copre (senza buchi) tutto il piano?
Si... Questo è vero e infatti anche io come prima risposta avevo detto che $u$ e $v$ potevano appartenere a tutto $RR$ perchè appunto non esistevano limitazioni particolari... Solo che il professore, come dicevo prima, mi ha detto che vorrebbe una limitazione più specifica (e infatti ho fatto scena muta quando mi ha chiesto un caso più specifico)...
Cavolo, o qualcosa ci sfugge o qualcosa è sfuggito al Professore.. Secondo te cosa non abbiamo visto? O che cosa potrebbe averti chiesto che ha sottointeso..
"Maci86":
Cavolo, o qualcosa ci sfugge o qualcosa è sfuggito al Professore.. Secondo te cosa non abbiamo visto? O che cosa potrebbe averti chiesto che ha sottointeso..
A questo punto credo che stia sfuggendo qualcosa a me... Anche se non credo dato che questa domanda mi è costato una scena muta!!
L'unica cosa che mi viene da pensare a questo punto è quanto aveva detto 5mrkv in questo post:
"5mrkv":
Non so bene cosa devi fare ma non ti basta prendere un insieme del tipo:
\[
\{x\in \mathbb{R}^{2}|\ (x_{0}^{2}+x_{1}^{2})^{1/2}\leq a \in \mathbb{R}^{+}\}
\]
(palla di raggio \(a\) centrata nell'origine) Non ci sono buchi. E' chiuso nella topologia delle palle aperte. E' anche limitato. Tu avevi detto di prendere come dominio tutto il piano ma mancava la limitatezza perché fosse compatto. E' così?
Cioè che appunto mi mancavano i "paletti qualcosa" che mi rendono il dominio limitato..!
O sono anche ora fuori strada?!
Intanto la cosa positiva è che almeno ho un pò più chiaro il concetto di insieme connesso e compatto e per questo vi ringrazio!
Si probabilmente se lo vuoi compatto lo devi bloccare ad una certa altezza, ma mi sembra inutile vedere la compattezza di una cosa non limitata come un cono..
"Maci86":
Si probabilmente se lo vuoi compatto lo devi bloccare ad una certa altezza, ma mi sembra inutile vedere la compattezza di una cosa non limitata come un cono..
Mah... Forse è proprio questo il punto dove voleva farmi arrivare il professore?! Grazie dell'interessamento comunque!!
Ora non mi resta altro da fare che aspettare il giorno dell'esame..!
La domanda che ti poneva il prof, era di stabilire delle condizioni al dominio che ti permettessero di ottenere una immagine compatta e connessa. Quello che il prof voleva sapere da te era la conoscenza del teorema per cui una funzione continua manda compatti in compatti e connessi in connessi, la connessione per archi o path connessione e' una condizione molto forte, esistono insiemi connessi che non sono connessi per archi. Quindi secondo me il prof voleva che gli rispondessi che per avere una immagine compatta, sicuramente partendo da un compatto l'avrai, se poi vuoi che sia anche connessa, allora basta partire da un connesso. La retta non e' compatta, e vista la funzione, non lo e' certamente nemmenno l'immagine, la presenza di $u*v$ lo conferma. La retta e' connessa, l'immagine che ne avrai sara' connessa. Lo sapzio $RR^2$ e' connesso, ma non e' compatto. Il cerchio di mkrv va benissimo, e' un esempio che va bene. Secondo me la stai complicando piu' del necessario ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo