Domandina algebra
Ciao, ho due piccole domande da fare...
1) "il determinante di una matrice $q_(i,j)=sum_{k=1}^{n}a_(ik)c_(jk)$. Se $i!=j$ si ha $q_(i,j)=0$ perche $q_(i,j)$ e lo sviluppo del determinante di una matrice avente due righe uguali".
Perche e lo sviluppo di un determinante avente due righe uguali?
2) come si fa l inversa di $A^(-1)$??
grazie ciao!
1) "il determinante di una matrice $q_(i,j)=sum_{k=1}^{n}a_(ik)c_(jk)$. Se $i!=j$ si ha $q_(i,j)=0$ perche $q_(i,j)$ e lo sviluppo del determinante di una matrice avente due righe uguali".
Perche e lo sviluppo di un determinante avente due righe uguali?
2) come si fa l inversa di $A^(-1)$??
grazie ciao!
Risposte
L'inversa di $A^{-1}$ è $A$, forse volevi sapere come si calcola l'inversa di una matrice?
no e perche stavo leggendo la dimostrazione di $(A^(-1))^(-1)$ e arriva al punto in cui dice "$A^(-1)=1/(|A|)$ invertendo $A^(-1)$ si ottiene la proprieta...ma nn ho ben capito che vuol dire....
Inoltre, un proprieta dei vettori lin.indipendenti dice che: "Se $v_1..........v_k$ e completo in V allora esiste un sottoinsieme $v_1..........v_n$ con $n<=k$ di vettori linearmente indipendenti che e completo in V. Qualcuno puo farmi un esempio?
Temo d aver capito male cio che sta scritto. Io ho capito che per es. se in dimensione 3 ho 3 vettori linearmente indipendenti allora se ne prendo due sono anch essi linearmente indipendenti e il terzo vettore posso esprimerlo come combinazione lineare degli altri due
Inoltre, un proprieta dei vettori lin.indipendenti dice che: "Se $v_1..........v_k$ e completo in V allora esiste un sottoinsieme $v_1..........v_n$ con $n<=k$ di vettori linearmente indipendenti che e completo in V. Qualcuno puo farmi un esempio?
Temo d aver capito male cio che sta scritto. Io ho capito che per es. se in dimensione 3 ho 3 vettori linearmente indipendenti allora se ne prendo due sono anch essi linearmente indipendenti e il terzo vettore posso esprimerlo come combinazione lineare degli altri due
"richar84":
$A^(-1)=1/(|A|)$
Scritta così non vuol dire molto, forse volevi scrivere $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$, che significa che il determinante di $A^{-1}$ è l'inverso del determinante di $A$.
si mi son sbagliato. scusami..volevo scrivere cosi... pero che vuol dire che invertendo $A^(-1)$ ottengo la proprieta $(A^(-1))^(-1)$?
Certo, l'inversa dell'inversa coincide con la matrice da cui tu sei partito. Ad esempio, nel caso scalare, dato $x \ne 0$, allora $x=(x^{-1})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{x}}$.
ok grazie...quindi invertire quella cosa che ho scritto prima vuol dire fare $A=(1/1)/A$??
e per i vettori invece come posso fare?
e per i vettori invece come posso fare?
No, non vuol dire fare quello, non ha senso dividere per una matrice, al più si può moltiplicare per l'inversa. Per i vettori non si può trovare un inverso, non è definito.
$|A^(-1)|^(-1)=(1/1)/|A|$ quindi $(A^(-1))^(-1)$ e sbagliato?'
per i vettori mi riferivo alla domanda sui vettori linearmente indipendenti
per i vettori mi riferivo alla domanda sui vettori linearmente indipendenti
"richard84":
$|A^(-1)|^(-1)=(1/1)/|A|$ quindi $(A^(-1))^(-1)$ e sbagliato?'
Scritto così è giusto, prima era sbagliato perché non ci avevi messo le stanghette che stanno a significare che quello trattato è il determinante della matrice.
Per quanto riguarda i vettori avevo frainteso... cosa significa che un insieme di vettori è completo in uno spazio?
Ok grazie...
Un insieme di vettori $v_1.......v_n$ e detto completo se per ogni v appartenente a V puo rappresentarsi come combinazione lineare di $v_1.......v_n$
Un insieme di vettori $v_1.......v_n$ e detto completo se per ogni v appartenente a V puo rappresentarsi come combinazione lineare di $v_1.......v_n$
Cioè $v_1$...$v_n$ generano V.
Per l'esempio:
In $RR^3$ hai quattro vettori. Mettiamo tu abbia $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ e $(2,3,2)$. Questi 4 vettori generano $RR^3$, senza dubbio. Però puoi estrarne 3 che sono anche linearmente indipendenti, e di conseguenza avrai poi una base.
Nel nostro caso puoi eliminare $(2,3,2)$ e tenere gli altri 3, che continuano a generare $RR^3$ (o, come dici tu sono completi) e sono l.i. E, per appunto, $3<=4$.
ciao
Per l'esempio:
In $RR^3$ hai quattro vettori. Mettiamo tu abbia $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ e $(2,3,2)$. Questi 4 vettori generano $RR^3$, senza dubbio. Però puoi estrarne 3 che sono anche linearmente indipendenti, e di conseguenza avrai poi una base.
Nel nostro caso puoi eliminare $(2,3,2)$ e tenere gli altri 3, che continuano a generare $RR^3$ (o, come dici tu sono completi) e sono l.i. E, per appunto, $3<=4$.
ciao
Scusatemi se vi stresso con sta cosa ma ho un problema: oggi sono andato dalla prof per farmela spiegare ma sono stato indirizzato ad un altro prof(al prof.che nn fa esercitazioni) perche lei nn era in grado di spiegarmelo...
Riporto tutto cio che c e scritto sulle mie dispense:
"Definizione: un insieme di vettori $v_1.....v_k$ appartenente a V e detto completo se ogni v appartenente a V puo rappresentarsi come combinazione lineare $v_1.....v_k$.
Proprieta 4: se $v_1.....v_k$ e completo in V allora esiste un sottoinsieme $v_1.....v_n$ con $n<=k$ di vettori l.i. che e completo in V.
Dimostrazione:se $v_1.....v_k$ sono l.i. l enunciato e dimostrato con n=k. Se cosi nne si ha $a_1v_1+a_2v_2....a_kv_k=0$ con almeno un $a_i!=0$. Sia $a_k!=0$ ( se cosi nne basta riordinare gli indici);si ha:
$v_k=-a_1/a_kv_1-....-a_(k-1)/a_kv_(k-1)$
per ipotesi $v_1.....v_k$ e uno spazio completo in V, quindi questa condizione implica che $v_1.....v_(k-1)$ e completo in V. Se $v_1.....v_(k-1)$ sono l.i. la proprieta e dimostrata, altrimenti si continua"
Le mie domande sono:
1) E giusta la dimostrazione??(se potete ditemi anche se tutti gli indici sono esatti)
2) Se si $v_k=-a_1/a_kv_1-....-a_(k-1)/a_kv_(k-1)$ come e possibile che $v_1.....v_k$ sono l.i.?
scusatemi ma oltre i prof anche le dispense sono strapiene d errori...!!
Riporto tutto cio che c e scritto sulle mie dispense:
"Definizione: un insieme di vettori $v_1.....v_k$ appartenente a V e detto completo se ogni v appartenente a V puo rappresentarsi come combinazione lineare $v_1.....v_k$.
Proprieta 4: se $v_1.....v_k$ e completo in V allora esiste un sottoinsieme $v_1.....v_n$ con $n<=k$ di vettori l.i. che e completo in V.
Dimostrazione:se $v_1.....v_k$ sono l.i. l enunciato e dimostrato con n=k. Se cosi nne si ha $a_1v_1+a_2v_2....a_kv_k=0$ con almeno un $a_i!=0$. Sia $a_k!=0$ ( se cosi nne basta riordinare gli indici);si ha:
$v_k=-a_1/a_kv_1-....-a_(k-1)/a_kv_(k-1)$
per ipotesi $v_1.....v_k$ e uno spazio completo in V, quindi questa condizione implica che $v_1.....v_(k-1)$ e completo in V. Se $v_1.....v_(k-1)$ sono l.i. la proprieta e dimostrata, altrimenti si continua"
Le mie domande sono:
1) E giusta la dimostrazione??(se potete ditemi anche se tutti gli indici sono esatti)
2) Se si $v_k=-a_1/a_kv_1-....-a_(k-1)/a_kv_(k-1)$ come e possibile che $v_1.....v_k$ sono l.i.?
scusatemi ma oltre i prof anche le dispense sono strapiene d errori...!!
"richard84":
Scusatemi se vi stresso con sta cosa ma ho un problema: oggi sono andato dalla prof per farmela spiegare ma sono stato indirizzato ad un altro prof(al prof.che nn fa esercitazioni) perche lei nn era in grado di spiegarmelo...
Riporto tutto cio che c e scritto sulle mie dispense:
"Definizione: un insieme di vettori $v_1.....v_k$ appartenente a V e detto completo se ogni v appartenente a V puo rappresentarsi come combinazione lineare $v_1.....v_k$.
Proprieta 4: se $v_1.....v_k$ e completo in V allora esiste un sottoinsieme $v_1.....v_n$ con $n<=k$ di vettori l.i. che e completo in V.
Dimostrazione:se $v_1.....v_k$ sono l.i. l enunciato e dimostrato con n=k. Se cosi nne si ha $a_1v_1+a_2v_2....a_kv_k=0$ con almeno un $a_i!=0$. Sia $a_k!=0$ ( se cosi nne basta riordinare gli indici);si ha:
$v_k=-a_1/a_kv_1-....-a_(k-1)/a_kv_(k-1)$
per ipotesi $v_1.....v_k$ e uno spazio completo in V, quindi questa condizione implica che $v_1.....v_(k-1)$ e completo in V. Se $v_1.....v_(k-1)$ sono l.i. la proprieta e dimostrata, altrimenti si continua"
Le mie domande sono:
1) E giusta la dimostrazione??(se potete ditemi anche se tutti gli indici sono esatti)
2) Se si $v_k=-a_1/a_kv_1-....-a_(k-1)/a_kv_(k-1)$ come e possibile che $v_1.....v_k$ sono l.i.?
scusatemi ma oltre i prof anche le dispense sono strapiene d errori...!!
1) La dimostrazione è giusta.
2) Hai fatto confusione. La dimostrazione si svolge così:
I parte: se $v_1$...$v_k$ sono linearmente indipendenti vuol dire che sono una base, perchè per ipotesi generano(sono completi), quindi hai finito subito e $k=n$.
II parte: se sono linearmente dipendenti, vuol dire esiste $a_k!=0$ tale che $a_1v_1+a_2v_2....a_kv_k=0$..dunque, procedendo come hai scritto tu si arriva a scrivere
$v_k=-a_1/a_kv_1-....-a_(k-1)/a_kv_(k-1)$
A questo punto se $v_1$..$v_(k-1)$ sono linearmente indipendenti hai finito, perchè se $v_1$...$v_k$ generano V e $v_k$ si scrive come combinazione lineare degli altri, allora $v_1$...$v_(k-i)$ generano V(sono completi).
Altrimenti procedi così fino a che non trovi $v_1$..$v_i$ l.i.
Meglio?
ciao
ancora qualche dubbio...
l enunciato della proprieta dice: se $v_1.....v_k$ e completo in V allora esiste un sottoinsieme $v_1.....v_n$ con $n<=k$ di vettori l.i. che e completo in V.
Cio significa che se io in dimensione 3 ho 3 vettori l.i. che generano esistono 2 vettori (sottoinsieme) che sono l.i. e che generano?nn mi sembra possibile.... nn capisco forse puoi spiegarmelo con l esempio che mi hai fatto prima?
l enunciato della proprieta dice: se $v_1.....v_k$ e completo in V allora esiste un sottoinsieme $v_1.....v_n$ con $n<=k$ di vettori l.i. che e completo in V.
Cio significa che se io in dimensione 3 ho 3 vettori l.i. che generano esistono 2 vettori (sottoinsieme) che sono l.i. e che generano?nn mi sembra possibile.... nn capisco forse puoi spiegarmelo con l esempio che mi hai fatto prima?
La proposizione ti dice che se hai $n$ vettori che generano (sono completi), allora ne puoi estrarre un numero $k<=n$ linearmente indipendenti che generino anch'essi. Questo è utile in quanto se hai $n$ vettori che generano in uno spazio di dimensione $k$, sai che $k<=n$.
Esempio:
Mettiamo tu abbia $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ e $(2,3,2)$. Questi 4 vettori generano $RR^3$. Però puoi estrarne 3 che sono anche linearmente indipendenti.
Elimini $(2,3,2)$ e tieni gli altri 3, che continuano a generare $RR^3$ e sono l.i. E, per appunto, $3<=4$.
Ma se tu hai solo $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, per estrarne un numero $k<=3$ tale che i $k$ vettori continuino a generare $RR^3$, è ovvio che non puoi fare altro che prendere $k=3$. Questo perchè i vettori di partenza sono già linearmente indipendenti.
ciao
Esempio:
Mettiamo tu abbia $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ e $(2,3,2)$. Questi 4 vettori generano $RR^3$. Però puoi estrarne 3 che sono anche linearmente indipendenti.
Elimini $(2,3,2)$ e tieni gli altri 3, che continuano a generare $RR^3$ e sono l.i. E, per appunto, $3<=4$.
Ma se tu hai solo $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, per estrarne un numero $k<=3$ tale che i $k$ vettori continuino a generare $RR^3$, è ovvio che non puoi fare altro che prendere $k=3$. Questo perchè i vettori di partenza sono già linearmente indipendenti.
ciao
ma nell esempio che mi hai dato tu l insieme dei vettori e completo??? (2,3,2) non posso esprimerlo come c.l. degli altri 3.?(visto che in dimensione 3 4 vettoris sono sempre l.d.) Se elimino (2,3,2) allora trovo un insieme completo perche posso esprimere qualsiasi altro vettore come c.l. e in piu i 3 vettori sono l.i.
L enunciato dice che da un insieme completo posso ottenere un sottoinsieme con meno vettori anch esso completo....nn capisco
L enunciato dice che da un insieme completo posso ottenere un sottoinsieme con meno vettori anch esso completo....nn capisco
Vettori completi (generatori): vettori che generano uno spazio, non importa che siano l.i oppure l.d.
Base: vettori l.i. che generano uno spazio vettoriale.
Mi sa che fai confusione tra le due cose.
Base: vettori l.i. che generano uno spazio vettoriale.
Mi sa che fai confusione tra le due cose.
ahhhh ok!!!mi ha confuso tutto una scritta che rimandava ad un altra proprieta....
ricapitolando:
-completo vuol dire soltanto che generano.....e possono essere l.d. giusto?
grazie mille a tutti!!
ricapitolando:
-completo vuol dire soltanto che generano.....e possono essere l.d. giusto?
grazie mille a tutti!!
Giusto!
ciao ciao
ciao ciao
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