Domande sulle coniche

[Superandri91]

ciao a tutti. sto facendo esercizi sulle coniche ma ci sono alcuni dubbi che non riesco a chiarire!
in un es mi viene data l'eq. e devo trovare l'eq. canonica. per farlo prima attraverso gli invarianti mi calcola che è una iperbole (e fin qui ci siamo). poi introduce la matrice della forma quadratica (che non viene spiegata nè espressa, non so cosa sia)... mi dice che gli autovalori di tale matrice sono 3,-2 e pertanto l'equazione è 3x^2-2y^2-1=0... ma perchè? boh!

[maurer]

Allora... sorvolando su tutto il procedimento di riduzione a forma canonica (stasera direi che ho già scritto abbastanza teoria, lol), qui si tratta di applicare qualche trucco standard.

L'idea è che data una conica tu puoi sempre trovare un sistema ortogonale di riferimento rispetto a cui la conica è posizionata bene. Ora, la matrice della parte quadratica è sempre simmetrica e quindi per il teorema spettrale diagonalizzabile tramite una base ortonormale. Ne segue che gli autovettori rappresentano la base rispetto a cui la conica si scrive in forma "carina". Per giustificare il perché se gli autovalori sono [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex] e la conica non è una parabola ti salti fuori [tex]\lambda x^2 + \mu y^2 = 1[/tex] bisogna studiare innanzi tutto come si comporta l'equazione della conica sotto l'effetto dell'affinità!