Domande sulle bandiere di sottospazi lineari
Ciao. Definisco una bandiera come una filtrazione (al più) numerabile di uno spazio vettoriale. Mi chiedevo, pensando solo a spazi finito-dimensionali:
1) Ogni spazio vettoriale ammette una bandiera massimale?
2.0) Uno spazio vettoriale non banale di dimensione \( n \) ammette sottospazi di dimensione \( m \), per ogni \( 1\leqq m\leqq n \)?
2) È vero che una bandiera massimale è unica?
3) come si ottengono tutte le bandiere di uno spazio vettoriale? Se lo spazio ha dimensione finita, quante sono?
Vi prego non ignoratemi :c
Però ci devo riprovare con un altra caratterizzazione, perché come l'ho fatto io è brutto. (Perché è un casino far vedere che l'unione di una catena di catene è ancora una catena, o tipo perché ci ho messo un quarto d'ora a capire che cavolo potesse significare unire una catena di catene di sottospazi).
Perdonami, forse non ho inteso la domanda... ma non sono infinite?
In effetti non so quando consideri due bandiere diverse, però (se come immagino due bandiere sono uguali sse sono composte dagli stessi sottospazi) quando il campo ha caratteristica $0$ e lo spazio vettoriale ha dimensione almeno $2$ direi che sono infinite.
Infatti dici tu stesso che ad ogni base puoi associare una bandiera; e se due basi $B={v_1,...,v_n} \ \ C={w_1,...,w_n}$ sono tali che \(v_1, w_1\) sono linearmente indipendenti, allora inducono bandiere diverse.
Ora diciamo che il mio $V$ $k$-sp. vett. sia come sopra (dim. almeno $2$ e $k$ ha caratteristica $0$).
Allora posso prendere in $V$ $v,w$ lin. indip. e considero l'insieme $S={v+aw|a in k-{0}}$ questo è infinito e presi comunque 2 elementi distinti qui dentro sono lin. indip. perché: $\alpha(v+aw)+\beta(v+bw)=0 <=> (\alpha+\beta)v+(a\alpha+b\beta)w=0 <=> \alpha+\beta=a\alpha+b\beta=0$
Da cui ${ ( \alpha=-\beta ),( (b-a)\beta=0 ):}$ perciò $\alpha=\beta=0$.
Sfruttando ciò posso costruire infinite bandiere completando a base i vari vettori di $S$.
Diversa storia se lo spazio vettoriale è finito (ossia ha dimensione finita e il campo base è finito), che è il caso studiato nel tuo link.
Banale è il caso in cui lo sp. vett. ha dimensione 1, per cui ho una sola bandiera (a prescindere dal campo e dalla finitezza di $V$).
Comunque non so bene che definizioni usi perché ad esempio non so cos'è una filtrazione, quindi potrei non aver capito la domanda e aver detto un sacco di cose che non ti sono utili.
In più, sopra ho tacitamente assunto che ogni vettore si può "completare a base", cosa che dovrebbe essere vera assumendo l'assioma della scelta.
[edit]Probabilmente in dimensione finita si fa anche senza assioma della scelta, ma in questo momento sono troppo stanco per giustificare questa mia affermazione
Ha sempre senso (ma la risposta è abbastanza banale quando il campo è infinito); per le flag massimali la domanda è equivalente, ovviamente, a contare la cardinalità del gruppo generale lineare \(GL_n(K)\). Si può anche decidere che si introduce sulle basi una relazione di equivalenza, per esempio quella che dice che due basi sono equivalenti se sono proporzionali, o se contengono gli stessi vettori. Allora si tratta di contare la cardinalità del quoziente di \(GL_n(K)\) per queste relazioni di equivalenza...
A me non torna, in generale basi diverse possono indurre la stessa bandiera.
1) Ogni spazio vettoriale ammette una bandiera massimale?
2.0) Uno spazio vettoriale non banale di dimensione \( n \) ammette sottospazi di dimensione \( m \), per ogni \( 1\leqq m\leqq n \)?
2) È vero che una bandiera massimale è unica?
3) come si ottengono tutte le bandiere di uno spazio vettoriale? Se lo spazio ha dimensione finita, quante sono?
Vi prego non ignoratemi :c
Risposte
[ot]
"marco2132k":È spesso difficile seguire il corso dei tuoi pensieri e (parlo almeno per me) serve del tempo per capire i contenuti e dove vuoi arrivare. Quindi pazienta.[/ot]
Vi prego non ignoratemi :c
"arnett":Sono riuscito a dimostrare che ogni catena \( \left(L_i\right)_{i\in I} \) in uno spazio qualunque può essere estesa ad una catena massimale, proprio definendo una catena di sottospazi come... una catena nel reticolo dei sottospazi, e facendo vedere che nell'insieme delle tali catene contenenti la \( \left(L_i\right)_{i\in I} \), ogni catena ha limitazione superiore rispetto alla relazione di inclusione.
non puoi usare l'inclusione come nulla fosse
Però ci devo riprovare con un altra caratterizzazione, perché come l'ho fatto io è brutto. (Perché è un casino far vedere che l'unione di una catena di catene è ancora una catena, o tipo perché ci ho messo un quarto d'ora a capire che cavolo potesse significare unire una catena di catene di sottospazi).
"arnett":nope. Dal Kostrikin, Manin.
Dove stai leggendo? Da Roman?
Come ha detto Arnett, una bandiera è una sequenza ordinata e "crescente" (in senso inclusivo) di sottospazi (filtrazioni) di uno spazio vettoriale di dimensione finita -> https://en.wikipedia.org/wiki/Flag_(linear_algebra)
Tu invece tratti come bandiera ogni singola filtrazione.
Tu invece tratti come bandiera ogni singola filtrazione.
"marco2132k":
3) come si ottengono tutte le bandiere di uno spazio vettoriale? Se lo spazio ha dimensione finita, quante sono?
Perdonami, forse non ho inteso la domanda... ma non sono infinite?
In effetti non so quando consideri due bandiere diverse, però (se come immagino due bandiere sono uguali sse sono composte dagli stessi sottospazi) quando il campo ha caratteristica $0$ e lo spazio vettoriale ha dimensione almeno $2$ direi che sono infinite.
Infatti dici tu stesso che ad ogni base puoi associare una bandiera; e se due basi $B={v_1,...,v_n} \ \ C={w_1,...,w_n}$ sono tali che \(v_1, w_1\) sono linearmente indipendenti, allora inducono bandiere diverse.
Ora diciamo che il mio $V$ $k$-sp. vett. sia come sopra (dim. almeno $2$ e $k$ ha caratteristica $0$).
Allora posso prendere in $V$ $v,w$ lin. indip. e considero l'insieme $S={v+aw|a in k-{0}}$ questo è infinito e presi comunque 2 elementi distinti qui dentro sono lin. indip. perché: $\alpha(v+aw)+\beta(v+bw)=0 <=> (\alpha+\beta)v+(a\alpha+b\beta)w=0 <=> \alpha+\beta=a\alpha+b\beta=0$
Da cui ${ ( \alpha=-\beta ),( (b-a)\beta=0 ):}$ perciò $\alpha=\beta=0$.
Sfruttando ciò posso costruire infinite bandiere completando a base i vari vettori di $S$.
Diversa storia se lo spazio vettoriale è finito (ossia ha dimensione finita e il campo base è finito), che è il caso studiato nel tuo link.
Banale è il caso in cui lo sp. vett. ha dimensione 1, per cui ho una sola bandiera (a prescindere dal campo e dalla finitezza di $V$).
Comunque non so bene che definizioni usi perché ad esempio non so cos'è una filtrazione, quindi potrei non aver capito la domanda e aver detto un sacco di cose che non ti sono utili.
In più, sopra ho tacitamente assunto che ogni vettore si può "completare a base", cosa che dovrebbe essere vera assumendo l'assioma della scelta.
[edit]Probabilmente in dimensione finita si fa anche senza assioma della scelta, ma in questo momento sono troppo stanco per giustificare questa mia affermazione
\( \newcommand{\span}[1]{\left\langle #1\right\rangle} \)@Bokonon Wikipedia dice che "a filtration \( \mathcal F \) is an indexed set \( S_i \) of subobject of a given algebraic structure \( S \), with the index \( i \) running over some index set \( I \) that is a totally ordered set, subject to the condition that if \( i
@jinsang, @arnett Sì, mi son fatto l'idea che contare le bandiere/catene sia un po' difficile. E ora non posso bloccarmi lì purtroppo. Quello che intendevo con determinare tutte le bandiere era una cosa del genere: data una base ordinata \( \left(e_1,\dots,e_n\right) \), posso sempre formare una bandiera massimale, come detto; una funzione
\[
\left(e_1,\dots,e_n\right)\mapsto 0\subset\span{e_1}\subset\span{e_1,e_2}\subset\dots\subset\span{e_1,\dots,e_n}
\] è suriettiva.
Questo, tradotto, dovrebbe dirmi che tutte le bandiere si ottengono in quel modo, cioè giocando con gli span di una sottocollezione di una base ordinata.
@jinsang, @arnett Sì, mi son fatto l'idea che contare le bandiere/catene sia un po' difficile. E ora non posso bloccarmi lì purtroppo. Quello che intendevo con determinare tutte le bandiere era una cosa del genere: data una base ordinata \( \left(e_1,\dots,e_n\right) \), posso sempre formare una bandiera massimale, come detto; una funzione
\[
\left(e_1,\dots,e_n\right)\mapsto 0\subset\span{e_1}\subset\span{e_1,e_2}\subset\dots\subset\span{e_1,\dots,e_n}
\] è suriettiva.
Questo, tradotto, dovrebbe dirmi che tutte le bandiere si ottengono in quel modo, cioè giocando con gli span di una sottocollezione di una base ordinata.
"arnett":
Continuo a premettere che non ne so nulla, ma direi che il problema di conteggio delle bandiere di uno spazio vettoriale ha senso quando il campo è finito
Ha sempre senso (ma la risposta è abbastanza banale quando il campo è infinito); per le flag massimali la domanda è equivalente, ovviamente, a contare la cardinalità del gruppo generale lineare \(GL_n(K)\). Si può anche decidere che si introduce sulle basi una relazione di equivalenza, per esempio quella che dice che due basi sono equivalenti se sono proporzionali, o se contengono gli stessi vettori. Allora si tratta di contare la cardinalità del quoziente di \(GL_n(K)\) per queste relazioni di equivalenza...
"solaàl":
per le flag massimali la domanda è equivalente, ovviamente, a contare la cardinalità del gruppo generale lineare \(GL_n(K)\).
A me non torna, in generale basi diverse possono indurre la stessa bandiera.
@marco2132k Secondo me, dovresti studiare meglio il concetto di base di uno spazio vettoriale (e dintorni), il teorema della base e i lemmi di Steinitz; perché, sempre secondo me, non avendo chiaro il tutto non riesci a rispondere a queste domande che ti sei posto...
@j18eos In che senso? Ho risposto alle domande (tranne all'ultimissima, per la quale ora non sono in grado di indagare), credo.
Ho aperto questo thread perché non mi era chiaro il significato delle cose sottolineate qui
Ho aperto questo thread perché non mi era chiaro il significato delle cose sottolineate qui
in particolare quel "the maximal flag [...]". Ora so che quella bandiera è da intendersi come l'unica flag massimale contenente la bandiera data.
Siccome mi ha molto interessato l'ultima domanda c'ho ripensato un po' stasera e mi sono venute delle idee.
Però dato che qui la discussione mi sembra abbastanza conclusa, che il problema mi sembra interessante di per sé e che fissarsi su quel punto forse andrebbe un po' OT; lo riprendo in un altro thread (https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=204339).
Però dato che qui la discussione mi sembra abbastanza conclusa, che il problema mi sembra interessante di per sé e che fissarsi su quel punto forse andrebbe un po' OT; lo riprendo in un altro thread (https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=204339).
Ci dev'essere un errore di stampa: non esiste la bandiera massimale, per come le stiamo considerando.
Esempio: In \(\displaystyle\mathbb{R}^2\), il sistema libero \(\displaystyle\{(1,0)\}\) si può estendere ai sistemi liberi massimali \(\displaystyle\{(1,0),(0,1)\}\) e \(\displaystyle\{(1,0),(1,1)\}\); ovvero, puoi trovare due bandiere massimali contenenti una stessa bandiera.
Inoltre, se \(\displaystyle\mathbb{V}\) è uno spazio vettoriale (su un qualsiasi campo) di dimensione \(\displaystyle n\) e \(\displaystyle\mathbb{W}\) un suo sottospazio vettoriale, se \(\displaystyle\dim\mathbb{W}=n\) allora \(\displaystyle\mathbb{W}=\mathbb{V}\)!, e questo è una conseguenza di un lemma di Steinitz...
Esempio: In \(\displaystyle\mathbb{R}^2\), il sistema libero \(\displaystyle\{(1,0)\}\) si può estendere ai sistemi liberi massimali \(\displaystyle\{(1,0),(0,1)\}\) e \(\displaystyle\{(1,0),(1,1)\}\); ovvero, puoi trovare due bandiere massimali contenenti una stessa bandiera.
Inoltre, se \(\displaystyle\mathbb{V}\) è uno spazio vettoriale (su un qualsiasi campo) di dimensione \(\displaystyle n\) e \(\displaystyle\mathbb{W}\) un suo sottospazio vettoriale, se \(\displaystyle\dim\mathbb{W}=n\) allora \(\displaystyle\mathbb{W}=\mathbb{V}\)!, e questo è una conseguenza di un lemma di Steinitz...
"j18eos":Ah beh.. La prima domanda è imbarazzante... Ma sono io che ogni tanto sono sballato
Inoltre, se V è uno spazio vettoriale (su un qualsiasi campo) di dimensione n e W un suo sottospazio vettoriale, se dimW=n allora W=V!, e questo è una conseguenza di un lemma di Steinitz...
Ah, vabbè: càpita! 
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