Domande su autospazi, autovalori, autovettori. (Geometria I)
i) Parlando della diagonalizzazione, leggo sulle dispense: "Si vuole determinare nel caso di un endomorfismo, tra tutte le infinite matrici ad esso associate almeno una particolarmente semplice, la matrice diagonale". Perché dovrebbero essere infinite le matrici associate ad un endomorfismo?
Ad esempio, $f:V^3->V^3$$,$ $(x_1,x_2,x_3)->(2x_1-x_2,x_3,x_1+2x_2-x_3)$, a cui associo la matrice $((2,-1,0),(0,0,1),(1,2,-1))$. Perché dovrebbero esistere "infinite" matrici associate a questa applicazione?
ii)Un sottospazio può avere dimensione $0, 1, 2...$ etc. Quindi o ha un solo elemento, cioè il vettore nullo, o ne ha infiniti.
Fissato un $lambda$, e per ogni $lambda$ così fissato, l'autospazio corrispondente è un sottospazio definito come $V_lambda={x inV | f(x)=lambdax}$. Adesso io vorrei sapere: se c'è un unico autovettore $x$ associato all'autovalore fissato $lambda$, e $x$ non è il vettore nullo (per definizione di autovettore), vien fuori che l'autospazio è composto da un solo elemento, cioè $x$, che non è il vettore nullo. Come fa ad essere un sottospazio?
Grazie.
Ad esempio, $f:V^3->V^3$$,$ $(x_1,x_2,x_3)->(2x_1-x_2,x_3,x_1+2x_2-x_3)$, a cui associo la matrice $((2,-1,0),(0,0,1),(1,2,-1))$. Perché dovrebbero esistere "infinite" matrici associate a questa applicazione?
ii)Un sottospazio può avere dimensione $0, 1, 2...$ etc. Quindi o ha un solo elemento, cioè il vettore nullo, o ne ha infiniti.
Fissato un $lambda$, e per ogni $lambda$ così fissato, l'autospazio corrispondente è un sottospazio definito come $V_lambda={x inV | f(x)=lambdax}$. Adesso io vorrei sapere: se c'è un unico autovettore $x$ associato all'autovalore fissato $lambda$, e $x$ non è il vettore nullo (per definizione di autovettore), vien fuori che l'autospazio è composto da un solo elemento, cioè $x$, che non è il vettore nullo. Come fa ad essere un sottospazio?
Grazie.
Risposte
i) Suppongo perché sono infinite le basi di $V^3$.
ii) Se $\lambda$ è un autovalore, e $v$ è un autovettore relativo a lambda, allora anche $c v$ è un autovettore relativo a $\lambda$, per ogni $c \in K$ ($K$ è il campo su cui è definito $V$). Quindi se $K$ è un campo infinito, ogni autovalore ha infiniti autovettori. L'autospazio relativo a $\lambda$ è lo spazio generato dai suoi autovettori, o equivalentemente, detto $V_{\lambda}$ l'insieme degli autovettori relativi a $\lambda$, l'autospazio è dato da $V_{\lambda} \cup \{O\}$, dove $O$ indica il vettore nullo di $V$.
ii) Se $\lambda$ è un autovalore, e $v$ è un autovettore relativo a lambda, allora anche $c v$ è un autovettore relativo a $\lambda$, per ogni $c \in K$ ($K$ è il campo su cui è definito $V$). Quindi se $K$ è un campo infinito, ogni autovalore ha infiniti autovettori. L'autospazio relativo a $\lambda$ è lo spazio generato dai suoi autovettori, o equivalentemente, detto $V_{\lambda}$ l'insieme degli autovettori relativi a $\lambda$, l'autospazio è dato da $V_{\lambda} \cup \{O\}$, dove $O$ indica il vettore nullo di $V$.
O.k. Thx.
"Tipper":
ii)per ogni $c \in K$
$c!=0$
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