Domande su alcune piccole dimostrazioni
ciao, ho dei dubbi su un po di cose, spero che qualcuno possa rispondermi:
1) come si giustifica o dimostra che il prodotto di 2 matrici si fa moltiplicando le righe per le colonne?
2) Vettori ortonormali sono linearmente indipendenti. Dimostrazione: sia $u_1........u_k$ un insieme ortonormale. Posto $a_1u_1+.....+a_ku_k=0$ si ha
$0=(a_1u_1+.....+a_ku_kxu_j)=a_j$ per $j=1,2,3....k$. Non capisco perche ci sia $a_j$ a secondo membro dell uguaglianza, da dove arriva?
3) Vorrei chiedere come vanno messi i pedici nella dimostrazione che riporto perche nn capisco se sono giusti. Enunciato: In uno spazio vettoriale V di dimensione n, qualunque insieme di m>n vettori e l.i. Dimostrazione sia $v_1.....v_(n+1)$ la base V e siano $u_1.....u_(m+1)$, $m>n$ vettori che per assurdo supporremmo l.i. Si ha: $u_1=a_1v_1+a2_v2+....+a_mv_m$ dove le $a_i$ nn sono tutte nulle (in caso contrario $u_1=0$) il che nn puo essere perche $u_1$ e parte di una base. Senza restrizioni possiamo assumere che sia $a_1!=0$. Cio implica $v_1=1/a_1u_1-a_2/a_1v_2-...-a_m/a_1v_m$. Questo dimostra che $u_1,v_2...v_m$ sono un sistema completo in V. Continuando fino ad esaurimento di $v_1,v_2,.....v_n$ si ottiene che $u_(n+1),u_(n+2)...u_m$ sono l.d. il che contraddice l assunto che $u_1......a_m$ siano l.i.". Sapete anche dirmi se e corretta?nn capisco quando dice "...Si ha: $u_1=a_1v_1+a_2v_2+....+a_mv_m$ dove le $a_i$ nn sono tutte nulle (in caso contrario $u_1=0$) il che nn puo essere perche $u_1$ e parte di una base". Appunto perche $u_1$ e parte di una base nn dovrebbero essere le a tutte nulle?
Grazie ciao!
1) come si giustifica o dimostra che il prodotto di 2 matrici si fa moltiplicando le righe per le colonne?
2) Vettori ortonormali sono linearmente indipendenti. Dimostrazione: sia $u_1........u_k$ un insieme ortonormale. Posto $a_1u_1+.....+a_ku_k=0$ si ha
$0=(a_1u_1+.....+a_ku_kxu_j)=a_j$ per $j=1,2,3....k$. Non capisco perche ci sia $a_j$ a secondo membro dell uguaglianza, da dove arriva?
3) Vorrei chiedere come vanno messi i pedici nella dimostrazione che riporto perche nn capisco se sono giusti. Enunciato: In uno spazio vettoriale V di dimensione n, qualunque insieme di m>n vettori e l.i. Dimostrazione sia $v_1.....v_(n+1)$ la base V e siano $u_1.....u_(m+1)$, $m>n$ vettori che per assurdo supporremmo l.i. Si ha: $u_1=a_1v_1+a2_v2+....+a_mv_m$ dove le $a_i$ nn sono tutte nulle (in caso contrario $u_1=0$) il che nn puo essere perche $u_1$ e parte di una base. Senza restrizioni possiamo assumere che sia $a_1!=0$. Cio implica $v_1=1/a_1u_1-a_2/a_1v_2-...-a_m/a_1v_m$. Questo dimostra che $u_1,v_2...v_m$ sono un sistema completo in V. Continuando fino ad esaurimento di $v_1,v_2,.....v_n$ si ottiene che $u_(n+1),u_(n+2)...u_m$ sono l.d. il che contraddice l assunto che $u_1......a_m$ siano l.i.". Sapete anche dirmi se e corretta?nn capisco quando dice "...Si ha: $u_1=a_1v_1+a_2v_2+....+a_mv_m$ dove le $a_i$ nn sono tutte nulle (in caso contrario $u_1=0$) il che nn puo essere perche $u_1$ e parte di una base". Appunto perche $u_1$ e parte di una base nn dovrebbero essere le a tutte nulle?
Grazie ciao!
Risposte
grazie mille Tipper
Prego.
Ho 3 altre piccole difficolta..
1) Teorema: Sia U uno spazio vettoriale di dimensione n e base ortonormale $u_1....u_n$. Se $u'_1...........u'_n$ e un altra base ortonormale di U tale che $u_i=sum_{j=1}^{n}p_(ji)u'_j$ allora la matrice P di elementi $p_(ji)$ e ortogonale.
Dimostrazione: per l ipotesi di ortogonalita delle basi si ha.
$delta_(i,j)=(u_i,u_j)=(sum_{k=1}^{n}p_(ki)u'_k*sum_{m=1}^{n}p_(mi)u'_m)=sum_{k=1}^{n}sum_{m=1}^{n}p_(ki)p_(mj)delta_(km)=sum_{k=1}^{n}p_(ki)p_(kj)=sum_{k=1}^{n}p_(ik)^Tp_(kj)$...."
in questo passaggio $sum_{k=1}^{n}sum_{m=1}^{n}p_(ki)p_(mj)delta_(km)=sum_{k=1}^{n}p_(ki)p_(kj)$ come ha fatto a sparire una sommatoria, e come mai sono cambiati gli indici?
Puo essere che la sommatoria sia sparita perche $delta_(km)=1$ e quindi $k=m$?se si perche delta e uguale a 1?
una matrice ortogonale e una matrice con vettori ortogonali?
2) Vettori l.i. sono ortonormali?qualunque sia la risp come si dimostra?
3) Nell ambito delle matrici hermitiane ho queste due equazioni:
$u_{j}^{c}Hu_i=lambda_iu_{j}^{c}u_i$; e $u_{i}^{c}Hu_j=lambda_ju_{i}^{c}u_j$ dove $c$ sta per trasposta dei coniugati complessi.
le mie dispense fanno vedere che i primi membri delle due equazioni sono uguali in questo modo:
$(u_{j}^{c}Hu_i)^c=u_{i}^{c}H^cu_j=u_{i}^{c}Hu_j$
capisco che $(a+ib)(z-ic)=(a-ib)(z+ic)$. E il modo in cui e scritto in questo specifico caso che nn capisco...
grazie
1) Teorema: Sia U uno spazio vettoriale di dimensione n e base ortonormale $u_1....u_n$. Se $u'_1...........u'_n$ e un altra base ortonormale di U tale che $u_i=sum_{j=1}^{n}p_(ji)u'_j$ allora la matrice P di elementi $p_(ji)$ e ortogonale.
Dimostrazione: per l ipotesi di ortogonalita delle basi si ha.
$delta_(i,j)=(u_i,u_j)=(sum_{k=1}^{n}p_(ki)u'_k*sum_{m=1}^{n}p_(mi)u'_m)=sum_{k=1}^{n}sum_{m=1}^{n}p_(ki)p_(mj)delta_(km)=sum_{k=1}^{n}p_(ki)p_(kj)=sum_{k=1}^{n}p_(ik)^Tp_(kj)$...."
in questo passaggio $sum_{k=1}^{n}sum_{m=1}^{n}p_(ki)p_(mj)delta_(km)=sum_{k=1}^{n}p_(ki)p_(kj)$ come ha fatto a sparire una sommatoria, e come mai sono cambiati gli indici?
Puo essere che la sommatoria sia sparita perche $delta_(km)=1$ e quindi $k=m$?se si perche delta e uguale a 1?
una matrice ortogonale e una matrice con vettori ortogonali?
2) Vettori l.i. sono ortonormali?qualunque sia la risp come si dimostra?
3) Nell ambito delle matrici hermitiane ho queste due equazioni:
$u_{j}^{c}Hu_i=lambda_iu_{j}^{c}u_i$; e $u_{i}^{c}Hu_j=lambda_ju_{i}^{c}u_j$ dove $c$ sta per trasposta dei coniugati complessi.
le mie dispense fanno vedere che i primi membri delle due equazioni sono uguali in questo modo:
$(u_{j}^{c}Hu_i)^c=u_{i}^{c}H^cu_j=u_{i}^{c}Hu_j$
capisco che $(a+ib)(z-ic)=(a-ib)(z+ic)$. E il modo in cui e scritto in questo specifico caso che nn capisco...
grazie
"richard84":
ancora nn mi e chiaro...lo so che il prodotto scalare e la proioezione di un vettore sulla retta in cui giace l altro vettore...pero quando nella dim. trovo scritto $a_1v_1$ , $a_1$ nn e al proiezione lungo la direzione di $v_1$....
e $a_j$ era il coefficente del vettore $u_j$?
secondo me si capisce meglio così: $(a_1u_1+.....+a_ku_k)u_j=(a_1u_1u_j+...+a_ju_ju_j+...+a_ku_ku_j)=a_j$ poichè i prodotti $u_n u_m$ fanno zero se $m!=n$ e uno se $m=n$, poichè l'insieme è ortonormale... così non si fa riferimento al fatto che il prodotto scalare costituisce la proiezione, ma soltanto ad una proprietà che deve avere per definizione.
Grazie ancora....sulle ultime 3 domande che ho postato nessuno sa dirmi qualcosa?
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