Domande riassuntive alG. Lin.: Diagonalizzazione (conferma)
Dubito che questa storia della diagonalizzazione mi entrerà mai in testa ma io persevero...
Dunque, per vedere se un funzione $f$ è diagonizzabile io mi scelgo una base (convenientemente quella canonica $E$) e mi scrivo la mia matrice associata $A=M_EE(f)$.
Ora, di questa matrice mi calcolo il polinomio caratteristico, le cui radici saranno gli autovalori $λ_1, ..., λ_n$ (con la loro rispettiva molteplicità). Ora passo a trovarmi gli autospazi e i relativi autovettori: $V_λ_1=Ker(λ_1*I-A)$ e mi trovo la base del Ker, i vettori della base sanno gli autovettori. Cosi per tutti gli autovalori.
Se ora vedo che la dimensione di un autospazio è diversa dalla molteplicità del relativo autovalore allora $f$ non è diagonizzabile.
Ora, la conclusione è che esiste una matrice diagonale simile ad $A$. Questa matrice diagonale è così composta e ricavata (mettiamo che gli autovalori siano 3 e tutti con molteplicità 1):
$((λ_1,0,0),(0,λ_2,0),(0,0,λ_3))=P^(-1)*A*P$, dove P è una matrice che ha come colonne gli autovettori (messi in ordine: $v_1$,$v_2$,$v_3$)
E' corretto? mi serve solo una conferma, poi avrei altre domande...
[/pgn]
Dunque, per vedere se un funzione $f$ è diagonizzabile io mi scelgo una base (convenientemente quella canonica $E$) e mi scrivo la mia matrice associata $A=M_EE(f)$.
Ora, di questa matrice mi calcolo il polinomio caratteristico, le cui radici saranno gli autovalori $λ_1, ..., λ_n$ (con la loro rispettiva molteplicità). Ora passo a trovarmi gli autospazi e i relativi autovettori: $V_λ_1=Ker(λ_1*I-A)$ e mi trovo la base del Ker, i vettori della base sanno gli autovettori. Cosi per tutti gli autovalori.
Se ora vedo che la dimensione di un autospazio è diversa dalla molteplicità del relativo autovalore allora $f$ non è diagonizzabile.
Ora, la conclusione è che esiste una matrice diagonale simile ad $A$. Questa matrice diagonale è così composta e ricavata (mettiamo che gli autovalori siano 3 e tutti con molteplicità 1):
$((λ_1,0,0),(0,λ_2,0),(0,0,λ_3))=P^(-1)*A*P$, dove P è una matrice che ha come colonne gli autovettori (messi in ordine: $v_1$,$v_2$,$v_3$)
E' corretto? mi serve solo una conferma, poi avrei altre domande...
[/pgn]
Risposte
il ragionamento mi sembra corretto(il caso n autovalori distinti è il migliore)
esatto, ora io mi chiedo: se c'è un autovalore che ha molteplicità 2, $f$ è diagonizzabile se anche l'autospazio relativo ha dimensione due. Quindi ho due avutovettori. Se però la mia matrice $A$ di partenza ha dimensione $3$, anche i gli autovettori avranno dimensione $3$ e se costruisco $P$ come ho fatto prima le dimensioni di $P$ saranno $4x3$, non sarà più una matrice quadrata...
la matrice in quel caso sarebbe $((λ_1,0,0),(0,λ_1,0),(0,0,λ_2))$.
Non vedo dove si crei il problema.
Non vedo dove si crei il problema.
attualmente il mio problema è trovare $P$ e $P^(-1)$ (anche se comunque non sono quelle le matrici che interessano di solito).
ma $P$ non è costituita dalle basi di autospazi? Quindi da $\lambda_1$ ottieni le prime du righe di $P$ e da $\lambda_2$ la 3
In base alla relazione tra matrici simili (cioè relative ad uno stesso endomorfismo, come sono infatti la tua matrice di partenza e quella diagonale) quelle che tu chiami $P$ e $P^-1$ sono le matrici di passaggio dalla base rispetto a cui è scritto l'endomorfismo dal testo a quella di autovettori.
Ok.
Io dico che $f$ è fiagonizzabile se esiste una base $E$ di $V$ tale che $M_E,E(f)$ è diagonale.
Quando ho completato la diagonalizzazione questa base $E$ come la trovo?
Io dico che $f$ è fiagonizzabile se esiste una base $E$ di $V$ tale che $M_E,E(f)$ è diagonale.
Quando ho completato la diagonalizzazione questa base $E$ come la trovo?
Se la matrice è $n \times n$ ti basta prendere $n$ autovettori linearmente indipendenti (fra l'altro l'avevi già detto nel tuo primo post...).
Cioè devi prendere autovettori L.I da ogni autospazio in numero uguale alla dimensione dell'autospazio.
Basta scegliere una base per ogni autospazio: questi elementi sono una base di autovettore per l'endomorfismo.
un attimo, mi sto perdendo. Ho l'impressione di esserci quasi devo solo fare un piccolo collegamento...
Questa base $E$ che cerco è l'unione di tutti gli autovettori?
Io dico che $f$ è diagonizzabile se esiste una base $E$ di $V$ tale che $M_(E,E)(f)$ è diagonale.
Questa base $E$ che cerco è l'unione di tutti gli autovettori?
"nato_pigro":
Questa base $E$ che cerco è l'unione di tutti gli autovettori?
E' l'unione di n autovettori linearmente indipendenti e tali che, posto:
n1 = molteplicità geometrica del 1° autovalore
n2 = molteplicità geometrica del 2° autovalore
...
nk = molteplicità geometrica del k° autovalore
deve essere
n1 autovettori devono appartenere all'autospazio del 1° autovalore,
n2 autovettori devono appartenere all'autospazio del 2° autovalore,
...
nk autovettori devono appartenere all'autospazio del k° autovalore,
(ovviamente si ha n1 + n2 + ... + nk = n)
grazie molte.. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo