Domande Algebra Lineare

[simos_89]

Salve a tutti, sabato avrò l'esame di algebra lineare e ho qualche dubbio; prima dell'esame c'è un test con una parte a vero o falso, mi sapreste dire se queste 3 affermazioni sono vere o false?

• Se $f: R^3→R^3$ lineare ha 3 autovalori distinti, allora è invertibile
• A, B matrici quadrate($n*n$) e invertibili $=> A^-1 + B^-1$ è invertibile
• Ker f ≠ {0} => 0 è autovalore per f e viceversa

grazie 1000 per l'aiuto!!!

[Martino]

[mod="Martino"]Per favore inserisci le tue idee e un tuo tentativo di soluzione.[/mod]

[Camillo]

Per il rpimo quesito se uno degli autovalori della matrice A (3x3) che rappresenta l'applicazione lineare f vale 0 , allora la matrice non è invertibile in quanto $det A = lambda_1*lambda_2*lambda_3 =0 $

[amel3]

Dunque direi che in generale:
- non è vero;
- non è vero;
- è vero.

[Zkeggia]

la seconda è ovviamente falsa, ti suggerisco di prendere A e B diagonali in modo che A^-1 + B^-1 sia sempre diagonale (ovviamente) ma che compaia sulla diagonale uno 0...
se il nucleo è diverso da 0 esiste un vettore tale che $f(v) = 0$ quindi 0 v è autovettore relativo a 0. Il viceversa è identico, se 0 è autovalore esiste un v tale che $f(v) = 0 v= 0$ ovvero appartiene al nucleo.

[simos_89]

OK GRAZIE 1000 A TUTTI!!!