Domanda veloce su polinomio caratteristico
Se devo determinare gli autovalori di una matrice A, posso usare il polinomio caratteristico della sua matrice ridotta R?
Credo di sì perché $P(k)$ e $R(k)$ sono diversi ma hanno le stesse radici, cioè entrambi "forniscono" gli autovalori. L'importante è che quando vado a calcolare gli autovettori mi ricordo di non usare la ridotta.
Volevo chiedere conferma di questo. Grazie!
Credo di sì perché $P(k)$ e $R(k)$ sono diversi ma hanno le stesse radici, cioè entrambi "forniscono" gli autovalori. L'importante è che quando vado a calcolare gli autovettori mi ricordo di non usare la ridotta.
Volevo chiedere conferma di questo. Grazie!
Risposte
Ciao a tutti,
secondo me ha ragione Sergio. Qui sono riportate le tre proprietà che spiegano come cambia il determinante a seguito di una trasformazione sulla matrice.
secondo me ha ragione Sergio. Qui sono riportate le tre proprietà che spiegano come cambia il determinante a seguito di una trasformazione sulla matrice.
Mi sono espressa male, chiedo scusa. NON:
MA
... posso usare la ridotta della matrice caratteristica?
Quindi, nell'esempio di Sergio:
$ P(k)=| ( 1-k , 2 ),( 1 , 1-k ) | $
$ P-kI=( ( 1-k , 2 ),( 1 , 1-k ) ) $
1) Per $k \ne 1$:
$ ( ( 1-k , 2 ),( 1-k , (1-k)^2 ) ) $
$ ( ( 1-k , 2 ),( 0 , (1-k)^2 -2) ) = R $
$detR = R(k) = (1-k)(1 - k + sqrt(2))(1 - k-sqrt(2))$.
Essendo, in questo caso, $ k \ne 1$, le radici sono $k = 1 +- sqrt(2)$, come le radici di P(k).
2) Per $k = 1$: $detP(1) \ne 0$.
A volte capita, negli esercizi, di dover calcolare dei determinanti extralarge per trovar gli autovalori, quindi mi farebbe comodo poter usare questo metodo. Se sbaglio ancora ditemi.
"jitter":
Se devo determinare gli autovalori di una matrice A, posso usare il polinomio caratteristico della sua matrice ridotta
MA
... posso usare la ridotta della matrice caratteristica?
Quindi, nell'esempio di Sergio:
$ P(k)=| ( 1-k , 2 ),( 1 , 1-k ) | $
$ P-kI=( ( 1-k , 2 ),( 1 , 1-k ) ) $
1) Per $k \ne 1$:
$ ( ( 1-k , 2 ),( 1-k , (1-k)^2 ) ) $
$ ( ( 1-k , 2 ),( 0 , (1-k)^2 -2) ) = R $
$detR = R(k) = (1-k)(1 - k + sqrt(2))(1 - k-sqrt(2))$.
Essendo, in questo caso, $ k \ne 1$, le radici sono $k = 1 +- sqrt(2)$, come le radici di P(k).
2) Per $k = 1$: $detP(1) \ne 0$.
A volte capita, negli esercizi, di dover calcolare dei determinanti extralarge per trovar gli autovalori, quindi mi farebbe comodo poter usare questo metodo. Se sbaglio ancora ditemi.
Mi ricordo che quando ho dato l'esame di geometria i determinanti li calcolavamo con lo sviluppo di Laplace senza effettuare riduzioni. Eventualmente Sarrus se era una $3\times 3$ ma anche io credo che non sia particolarmente conveniente tentare di ridurre matrici contenenti un termine letterale.
"Sergio":
A naso (NB: solo a naso) usare il tuo metodo con una matrice come \(A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\) risulterebbe già un po' più... acrobatico.
Credo tu abbia ragione, anche per il fatto che negli esempi che ho visto mi pare venisse calcolato il determinante della matrice caratteristica "iniziale" e non quello della ridotta.
D'altra parte, però, mi dico: se è vero che i due determinanti sono diversi, è anche vero che si $P(k) = 0$ se e solo se $R(k) = 0$. Questo per le proprietà del determinante: l'annullarsi del determinante è invariante rispetto alle operazioni che si fanno sulle righe. A noi interessa proprio il caso in cui i determinanti si annullano, e lo fanno - credo - per gli stessi valori di k (= autovalori).
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