Domanda un po' bizzarra sugli autovalori
Chiedo a qualcuno di voi che è più esperto di me.
Esiste qualche modo per scoprire se una matrice quadrata reale (anche molto grande) ha un unico autovalore reale positivo e tutti i rimanenti o nonpositivi o complessi coniugati?
Insomma, è disponibile sul mercato qualche teorema di caratterizzazione per le matrici che hanno quel tipo di autovalori lì?
Esiste qualche modo per scoprire se una matrice quadrata reale (anche molto grande) ha un unico autovalore reale positivo e tutti i rimanenti o nonpositivi o complessi coniugati?
Insomma, è disponibile sul mercato qualche teorema di caratterizzazione per le matrici che hanno quel tipo di autovalori lì?
Risposte
Ci sono i teoremi di localizzazione di Gershgorin che ti danno qualche informazione:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_di_Gerschgorin
http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_di_Gerschgorin
Un criterio negativo è il seguente: Se tutti i minori principali di una data matrice simmetrica reale sono positivi\negativi allora tutti gli autovalori di essa sono positivi\negativi; tanto sono tutti reali!
EDIT Grazie al richiamo di dissonance, mi sono ricordato di cercare questo teorema di Perron-Frobenius, il quale anch'esso localizza gli autovalori in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
EDIT Grazie al richiamo di dissonance, mi sono ricordato di cercare questo teorema di Perron-Frobenius, il quale anch'esso localizza gli autovalori in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Premetto che non conosco l'argomento. Lo sto studiando perchè potrebbe servirmi in una cosa per la tesi.
Ricordo che il discriminante di un polinomio, nel campo di spezzamento, si definisce così
$Delta(f)= \prod_{i,j} (\alpha_i - \alpha_j)^2$, con $alpha_i$ le radici, contate tante volte quanta è la molteplicità.
In dimensione $2$ il discriminante di un polinomio (ovviamente penso al polinomio caratteristico) risponde completamente alla tua domanda.
In dimensione $3$ il discriminante di un polinomio: se è zero, c'è una radice multipla. Allora è necessariamente reale: è tripla oppure c'è una semplice e una doppia. Se è $<0$ c'è una sola radice reale, e due non reali distinte. Se è $>0$ ci sono due radici reali distinte e nessuna radice doppia. Dunque tre distinte.
A questo punto non so, non so neanche se ti rispondo. Mi riservo di continuare a pensarci, dopo che avrò finito l'articolo che sto leggendo.
Ricordo che il discriminante di un polinomio, nel campo di spezzamento, si definisce così
$Delta(f)= \prod_{i,j} (\alpha_i - \alpha_j)^2$, con $alpha_i$ le radici, contate tante volte quanta è la molteplicità.
In dimensione $2$ il discriminante di un polinomio (ovviamente penso al polinomio caratteristico) risponde completamente alla tua domanda.
In dimensione $3$ il discriminante di un polinomio: se è zero, c'è una radice multipla. Allora è necessariamente reale: è tripla oppure c'è una semplice e una doppia. Se è $<0$ c'è una sola radice reale, e due non reali distinte. Se è $>0$ ci sono due radici reali distinte e nessuna radice doppia. Dunque tre distinte.
A questo punto non so, non so neanche se ti rispondo. Mi riservo di continuare a pensarci, dopo che avrò finito l'articolo che sto leggendo.
Questa questione nasceva da una questione di Analisi Numerica di cui parlavo con una mia collega l'altro giorno.
Lei aveva il problema di stabilire se una data matrice d'ordine molto grande (per standard umani, ma piccola per standard automatici... Tipo d'ordine $50$-$100$), con entrate a quanto ricordo nonpositive, avesse o meno un unico autovalore positivo.
Per le ho suggerito di guardarsi teoremi come quelli suggeriti da j18eos e dissonance; domani le suggerisco la strada del discriminante.
Grazie a tutti.
Lei aveva il problema di stabilire se una data matrice d'ordine molto grande (per standard umani, ma piccola per standard automatici... Tipo d'ordine $50$-$100$), con entrate a quanto ricordo nonpositive, avesse o meno un unico autovalore positivo.
Per le ho suggerito di guardarsi teoremi come quelli suggeriti da j18eos e dissonance; domani le suggerisco la strada del discriminante.
Grazie a tutti.
"gugo82":
Lei aveva il problema di stabilire se una data matrice d'ordine molto grande (per standard umani, ma piccola per standard automatici... Tipo d'ordine $50$-$100$), con entrate a quanto ricordo nonpositive, avesse o meno un unico autovalore positivo.
Eh si... piccole piccole...
Io pensa che l'algoritmo che sto scrivendo sono indeciso se usarlo da $n>128$, $256$ o $512$... ma è indirizzato a matrici di ordine almeno $2000$-$4000$... Mentre per matrici più piccole userò o boost oppure un algoritmo meno ottimizzato.
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