Domanda teorica sull'intersezione di sottospazi vettoriali

[rettile56]

Questa volta straordinariamente non ho da chiedere un esercizio, ma semplicemente da chiarire un dubbio (derivato, ovviamente da un esercizio).

Avendo due sottospazi V e W ognuno con la sua base, se voglio trovare una base dell'intersezione devo scrivere che la combinazione lineare dei vettori della base di V è uguale alla combinazione lineare dei vettori della base di W. Mettendo a sistema i parametri trovo il/i vettori dell'intersezione la cui dimensione è data dal teorema di Grassman. Fin qui dovrei essere a posto...

La domanda è la seguente:
ammettiamo che sia la dimensione dell'intersezione che quella di V sia uguale a N e quella di W>N, non posso risparmiarmi tutto il procedimento dicendo che la base dell'intersezione corrisponde a quella di V?
E se anche la dimensione di W è uguale a N? Meglio ancora no? La base dell'intersezione può essere a mia discrezione la base di uno o l'altro sottospazio?

Ho detto una mega castroneria?
Spero di no!

[rettile56]

Nessuno può aiutarmi?

[giuscri]

"pollo93":La domanda è la seguente:
ammettiamo che sia la dimensione dell'intersezione che quella di V sia uguale a N e quella di W>N, non posso risparmiarmi tutto il procedimento dicendo che la base dell'intersezione corrisponde a quella di V?

Bha ...mi pare di si. La questione e' che
\[ V \cap W \]
e' uno spazio vettoriale --nel senso di ingabbiato rispetto somma e prodotto per scalare.
Insiemisticamente vale poi
\[ ( V \cap W ) \subset V \]
quindi
\[ V \cap W < V \]

Ora, se accade che un sottospazio ha la stessa dimensione dello spazio padre, il sottospazio in realta' e' un sottospazio banale (e' proprio lo spazio padre) *. Quindi, se accade
\[ \operatorname{dim}(V) = \operatorname{dim}(V \cap W) = \operatorname{dim}(W) \]
di fatto stai intersecando due volte lo stesso spazio.

___
* Credo tu possa dimostrarlo piuttosto facilmente: se le dimensioni di \( Z \) e \( W \) sono le stesse allora in \( Z \) riesci a trovare al massimo \( k \) vettori linearmente indipendenti che funzionano da base; allora \( k \) e' la dimensione di \( W \); allora gli stessi \( k \) vettori di prima generano tutto \( W \) --e chiaramente sono ancora liberi. Quindi
\[ Z = \operatorname{span}(\mathbf{z}_1, \ldots, \mathbf{z}_h) = W\]

[rettile56]

Ho letto ora..
Ok, grazie della conferma.
E grazie anche dell'aiuto di questi giorni. Ciao!