Domanda sullo Span
Come si fa a provare che $RR^2=Span((1,2)$$,(1,3))$ ??
Lo $Span$ di $RR^2$ non è formato da due vettori qualsiasi?
Lo $Span$ di $RR^2$ non è formato da due vettori qualsiasi?
Risposte
"Marix":Puoi applicare la definizione di $Span$ provando la doppia inclusione fra i due insiemi $RR^2$ e $Span{(1,2).\ (1,3)}$. Tieni conto che una delle due inclusioni è ovvia (quale?).
Come si fa a provare che $RR^2=Span((1,2)$$,(1,3))$ ??
"Marix":
Lo $Span$ di $RR^2$ non è formato da due vettori qualsiasi?
Forse la domanda era: "Lo $Span$ di due vettori qualsiasi è $RR^2$"? La risposta è no. Per esempio $Span{(1,0), (2,0)}$ non è tutto $RR^2$ (perchè?)
"Marix":
Lo $Span$ di $RR^2$ non è formato da due vettori qualsiasi?
manca una condizione..
Dovrei risolvere il sistema?
$x inRR^2$
$x=(x_1,x_2)$
Quindi posso fare
$(x_1,x_2)=x_1(1,2)+x_2(1,3)$
poi svolgo il sistema e trovo
$x_1=x_2=0$
e
$(0,0)inRR^2$
quindi
$RR^2=Span{(1,2),(1,3)} ??
Invece
$RR^2!=Span{(1,0),(2,0)}$
perchè non è possibile risolvere il sistema. O sbaglio?
Infatti non esistono pesi $(x_1,x_2)inRR^2 : (x_1,x_2)=x_1(1,0)+x_2(2,0)$
$x inRR^2$
$x=(x_1,x_2)$
Quindi posso fare
$(x_1,x_2)=x_1(1,2)+x_2(1,3)$
poi svolgo il sistema e trovo
$x_1=x_2=0$
e
$(0,0)inRR^2$
quindi
$RR^2=Span{(1,2),(1,3)} ??
Invece
$RR^2!=Span{(1,0),(2,0)}$
perchè non è possibile risolvere il sistema. O sbaglio?
Infatti non esistono pesi $(x_1,x_2)inRR^2 : (x_1,x_2)=x_1(1,0)+x_2(2,0)$
Per ogni $(x,y)$, devi trovare $a,b$ tali che $(x_1,x_2)=a(1,2)+b(1,3)$. Il sistema da risolvere è
${(a+b=x_1),(2a+3b=x_2):}$
nelle incognite $a,b$. Visto che il sistema ammette sempre almeno una soluzione (in realtà una sola), ogni vettore di $RR^2$ si scrive come combinazione dei due vettori ovvero è in $Span{(1,2),(1,3)}$.
Un altro modo per vederlo è calcolare la dimensione di $Span{(1,2),(1,3)}$ (che è 2). Quindi essendo un sottospazio di dimensione 2 di $RR^2$, deve essere $Span{(1,2),(1,3)}=RR^2$.
No, perchè non sempre è possibile risolvere il sistema $(x_1,x_2)=a(1,0)+b(2,0)$ nelle incognite $a,b$. Per esempio quando $x_2\ne0$.
Oppure perchè $Span{(1,0),(2,0)}$ ha dimensione $1$ mentre $RR^2$ ha dimensione $2$.
${(a+b=x_1),(2a+3b=x_2):}$
nelle incognite $a,b$. Visto che il sistema ammette sempre almeno una soluzione (in realtà una sola), ogni vettore di $RR^2$ si scrive come combinazione dei due vettori ovvero è in $Span{(1,2),(1,3)}$.
Un altro modo per vederlo è calcolare la dimensione di $Span{(1,2),(1,3)}$ (che è 2). Quindi essendo un sottospazio di dimensione 2 di $RR^2$, deve essere $Span{(1,2),(1,3)}=RR^2$.
"Marix":
Invece
$RR^2!=Span{(1,0),(2,0)}$
perchè non è possibile risolvere il sistema. O sbaglio?
Infatti non esistono pesi $(x_1,x_2)inRR^2 : (x_1,x_2)=x_1(1,0)+x_2(2,0)$
No, perchè non sempre è possibile risolvere il sistema $(x_1,x_2)=a(1,0)+b(2,0)$ nelle incognite $a,b$. Per esempio quando $x_2\ne0$.
Oppure perchè $Span{(1,0),(2,0)}$ ha dimensione $1$ mentre $RR^2$ ha dimensione $2$.
Capito, grazie!
Capito, grazie!
Prego 
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