Domanda sul sottospazio somma.
Ciao, supponiamo di avere due sottospazi di $R^3$ e di voler trovare il sottospazio somma.
$U,V$ sottospazi di $R^3$.
U ha dimensione 2.
V ha dimensione 1.
Volevo chiedervi: la dimensione del sottospazio somma sarà al massimo 3.
Allora la dimensione di U+V sarà minore o uguale a 3 e maggiore o uguale a 2 o a 1?
Secondo me a 2.Perchè una volta constatato che i tre vettori della base di U+V sono legati allora mi basta escludere la base di V.È giusto?Quindi in generale il minimo valore che la dimensione del sottospazio somma tra due sottospazi può assumere è pari a quello relativo alla dimensione del sottospazio più "grande"?Grazie.
$U,V$ sottospazi di $R^3$.
U ha dimensione 2.
V ha dimensione 1.
Volevo chiedervi: la dimensione del sottospazio somma sarà al massimo 3.
Allora la dimensione di U+V sarà minore o uguale a 3 e maggiore o uguale a 2 o a 1?
Secondo me a 2.Perchè una volta constatato che i tre vettori della base di U+V sono legati allora mi basta escludere la base di V.È giusto?Quindi in generale il minimo valore che la dimensione del sottospazio somma tra due sottospazi può assumere è pari a quello relativo alla dimensione del sottospazio più "grande"?Grazie.
Risposte
Per dare una risposta a questa domanda puoi usare la formula di Grassmann:
\(Dim(U + V) = Dim(U) + Dim(V) - Dim(U \cap V)\)
dove i primi due addendi sono fissati. Rimane da determinare la massima dimensione del terzo, cioè dell'intersezione. Poiché si tratta appunto di una intersezione tra due sottospazi vettoriali, questa conterrà tutti gli elementi comuni al primo e al secondo. Ne segue che quest'ultima non potrà avere dimensione maggiore del più piccolo dei due: infatti se ad esempio \(U\) è più "piccolo" di \(V\) succede che l'unica inclusione ammissibile è quella di \(U\) in \(V\). Altrimenti può sempre essere che non vi sia alcuna intersezione. Cioè è possibile che \(U \subset V\) oppure \(U \cap V = \emptyset \)
La massima dimensione dell'intersezione, se \(dim(U) = 2, dim(V) = 1 \) e \(U,V\) sono sottospazi vettoriali di \(\mathbb{R}^3\), è chiaramente 1, alla luce di quanto osservato prima, che si realizza quando vi è inclusione. Invece la minima dimensione è 0, realizzata nel caso duale.
Segue pertanto che la somma ha dimensione 2, se il secondo sottospazio è incluso nel primo, 3 altrimenti.
\(Dim(U + V) = Dim(U) + Dim(V) - Dim(U \cap V)\)
dove i primi due addendi sono fissati. Rimane da determinare la massima dimensione del terzo, cioè dell'intersezione. Poiché si tratta appunto di una intersezione tra due sottospazi vettoriali, questa conterrà tutti gli elementi comuni al primo e al secondo. Ne segue che quest'ultima non potrà avere dimensione maggiore del più piccolo dei due: infatti se ad esempio \(U\) è più "piccolo" di \(V\) succede che l'unica inclusione ammissibile è quella di \(U\) in \(V\). Altrimenti può sempre essere che non vi sia alcuna intersezione. Cioè è possibile che \(U \subset V\) oppure \(U \cap V = \emptyset \)
La massima dimensione dell'intersezione, se \(dim(U) = 2, dim(V) = 1 \) e \(U,V\) sono sottospazi vettoriali di \(\mathbb{R}^3\), è chiaramente 1, alla luce di quanto osservato prima, che si realizza quando vi è inclusione. Invece la minima dimensione è 0, realizzata nel caso duale.
Segue pertanto che la somma ha dimensione 2, se il secondo sottospazio è incluso nel primo, 3 altrimenti.
Grazie.
"iTz_Ovah":
Altrimenti può sempre essere che non vi sia alcuna intersezione. Cioè è possibile che \(U \cap V = \emptyset \)
No, questo non è possibile.
"killing_buddha":
[quote="iTz_Ovah"]Altrimenti può sempre essere che non vi sia alcuna intersezione. Cioè è possibile che \(U \cap V = \emptyset \)
No, questo non è possibile.[/quote]
\(U = Span\{(1,0,0), (0,1,0)\})\)
\(V = Span\{(0,0,1)\}\)
Trova l'intersezione.
Suggerimento: Poiché \(\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}\) genera \(\mathbb{R}^3\), la somma tra \(U\) e \(V\)è diretta. e.g l'intersezione è vuota.
"iTz_Ovah":
[quote="killing_buddha"][quote="iTz_Ovah"]Altrimenti può sempre essere che non vi sia alcuna intersezione. Cioè è possibile che \(U \cap V = \emptyset \)
No, questo non è possibile.[/quote]
\(U = Span\{(1,0,0), (0,1,0)\})\)
\(V = Span\{(0,0,1)\}\)
Trova l'intersezione.
Suggerimento: Poiché \(\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}\) genera \(\mathbb{R}^3\), la somma tra \(U\) e \(V\)è diretta. e.g l'intersezione è vuota.[/quote]
Sono impressionato!
Suggerimento: impara la differenza tra insieme vuoto e sottospazio nullo.
"killing_buddha":
impara la differenza tra insieme vuoto e sottospazio nullo.
Seguendo le notazioni del mio libro di testo. Si indica con \(\emptyset\) l'insieme di dimensione 0 composto dal solo vettore nullo.
Per completezza: indico l'insieme privo di ogni elemento come \(\{ \}\)
In effetti mi era sfuggito.L'intersezione non è mai vuota ma contiene sempre il vettore nullo(per definizione di sottospazio vettoriale).Ovviamente il ragionamento fila lo stesso, soltanto che bisogna indicare l'int.banale con ${0}$.
"iTz_Ovah":
[quote="killing_buddha"]impara la differenza tra insieme vuoto e sottospazio nullo.
Seguendo le notazioni del mio libro di testo. Si indica con \(\emptyset\) l'insieme di dimensione 0 composto dal solo vettore nullo.
Per completezza: indico l'insieme privo di ogni elemento come \(\{ \}\)[/quote]
Il simbolo $\emptyset$ è riservato all'insieme vuoto, e pur riconoscendo che le parole sono convenzioni, è vero che in matematica lo sono molto meno. Cambialo, uno che contiene roba del genere è un libro di merda, che rischia di farti fare pessime figure alla gente cui parli di matematica.
Considera che è il libro personale del mio professore...
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