Domanda su vettori linearmente indipendenti
Ciao ragazzi, ho un dubbio su un esercizio che mi chiede di verificare se il seguente sistema di vettori costituisce una base di $ R^2 $
$ {[1,0] , [0,2],[6,6] $ Ad occhio si vede subito che non è una base in quanto il terzo vettore dipende linearmente dai primi due, tuttavia ho voluto provare a procedere applicando la definizione di base ma non riesco a verificare ciò.
Dato che per costituire una base deve soddisfare due condizioni, cioè deve essere un sistema di generatori di R e deve essere un sistema di vettori linearmente indipendenti, io ho cercato di verificare queste due condizioni.
Dato che il rango è 2 ed è cioè massimo ho che l'insieme di vettori è un sistema di generatori (e il primo punto è verificato), ora devo controllare l'indipendenza lineare che si ha scrivendo una matrice avente come righe o colonne le componenti dei vettori $ {[1,0] , [0,2],[6,6]} $ e calcolandone il rango, se è massimo allora l'insieme dei vettori è linearmente indipendente. In questo caso il rango è massimo e quindi non dovremmo avere di conseguenza dei vettori linearmente indipendenti ? Come detto prima, si vede ad occhio che non lo sono, ma c'è qualcosa che non mi torna..
Grazie in anticipo!
$ {[1,0] , [0,2],[6,6] $ Ad occhio si vede subito che non è una base in quanto il terzo vettore dipende linearmente dai primi due, tuttavia ho voluto provare a procedere applicando la definizione di base ma non riesco a verificare ciò.
Dato che per costituire una base deve soddisfare due condizioni, cioè deve essere un sistema di generatori di R e deve essere un sistema di vettori linearmente indipendenti, io ho cercato di verificare queste due condizioni.
Dato che il rango è 2 ed è cioè massimo ho che l'insieme di vettori è un sistema di generatori (e il primo punto è verificato), ora devo controllare l'indipendenza lineare che si ha scrivendo una matrice avente come righe o colonne le componenti dei vettori $ {[1,0] , [0,2],[6,6]} $ e calcolandone il rango, se è massimo allora l'insieme dei vettori è linearmente indipendente. In questo caso il rango è massimo e quindi non dovremmo avere di conseguenza dei vettori linearmente indipendenti ? Come detto prima, si vede ad occhio che non lo sono, ma c'è qualcosa che non mi torna..
Grazie in anticipo!
Risposte
se i vettori sono quelli che hai scritto innanzi tutto la matrice va scritta disponendo ogni vettore in colonna quindi diciamo devi scambiare le righe colonne $ ( ( 1 , 0 , 6 ),( 0 , 2 , 6 ) ) $ . Come hai detto il rango è 2 significa che una base è per esempio (1,0)(0,2) o (1,0)(6,6) o ancora(0,2)(6,6).
Attenzione perchè tre vettori non potranno mai formare una base di R2, infatti qualsiasi sistema di generatori avente un numero di vettori superiore alla dimensione dello spazio non potrà mai essere una base.
Se infatti 2 vettori sono lin ind. formano una base di R2,aggiungendo un terzo vettore diverso dal vettore nullo non riuscirai mai a generare tutto R2
Attenzione perchè tre vettori non potranno mai formare una base di R2, infatti qualsiasi sistema di generatori avente un numero di vettori superiore alla dimensione dello spazio non potrà mai essere una base.
Se infatti 2 vettori sono lin ind. formano una base di R2,aggiungendo un terzo vettore diverso dal vettore nullo non riuscirai mai a generare tutto R2
I due vettori lin indip che sono una base già generano tutto $RR^2$ ; se aggiungi un altro vettore che sarà per forza una comb lin dei 2 vettori allora ottieni un sistema di 3 generatori di $RR^2$ .
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