Domanda su una "Base".

[jellybean22]

Salve a tutti; avrei la seguente domanda: Avendo una base $B={vec(i),vec(j),vec(k)}$ di $V_O^3$; quali sono le condizioni affinché 3 vettori applicati in O formino una base anch'essi in $V_O^3$?. Grazie a tutti

[Lorin1]

Vuoi sapere la definizione di Base in algebra lineare?!
Non ho capito...

[jellybean22]

Sia $B={vec(i), vec(j), vec(k)}$ una base di $V_O^3$. Dati i vettori $vec(OA)=vec(i)+vec(j)-vec(k)$, $vec(OB)=2vec(i)+vec(j)-vec(k)$, $vec(OC)=vec(i)+vec(j)+vec(k)$, verifica che anch'essi formano una base in $V_O^3$. Questo è l'esercizio . Diciamo che non so come procedere...

[Lorin1]

Nell'esercizio il prof intende $i=(1,0,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1)$?
oppure si trattano come vettori generici?

[Gi81]

Pardon, anticipato da Lorin.
Metto in spoiler :

$a[vec(i)+vec(j)-vec(k)]+b[2vec(i)+vec(j)-vec(k)]+c[vec(i)+vec(j)+vec(k)]= 0 veci +0vecj +0 veck =>$

$=> veci *[a+2b+c] +vecj *[a+b+c]+veck*[-a-b+c]=0 veci +0vecj +0 veck => {(a+2b+c=0),(a+b+c=0),(-a-b+c=0):}$

In pratica si tratta di vedere se la matrice $((1,2,1),(1,1,1),(-1,-1,1))$ è singolare o meno.

Se noti, questa matrice altro non è che $(vec{OA},vec{OB},vec{OC})$ rispetto ad $(veci,vecj,veck)$

[jellybean22]

E' un esercizio del libro; penso che li intenda comunque come hai detto tu @lorin! Grazie ad entrambi per le risposte

[jellybean22]

@Gi8 per ora abbiamo trattato solo vettori geometrici ed equazioni di rette e piani ed abbiamo appena introdotto i sistemi lineari. Per cui non so la definizione di matrice singolare

[Lorin1]

Se è come dico io allora prova a fare un pò di conti, seguendo anche il ragionamento di Gi8 e sfruttando ovviamente la definizione di sistema linearmente indipendente di vettori

[jellybean22]

Ok, ci provo!

[jellybean22]

Ho dimostrato che i tre vettori sono linearmente indipendenti. Ciò basta a dire che i tre vettori formano una base? Se si perché? Grazie a tutti..

[Lorin1]

A bastare non basta...perchè dovresti dimostrare che quello è il minimo numero di vettori che ti generano tutti i vettori dello spazio $V^3$

[Gi81]

@Lorin: veramente l'esercizio finisce lì. Dato che c'è la base $ccb= {veci,vecj,veck}$, lo spazio $V_0 ^3$ ha dimensione $3$.
E c'è un teorema che ci garantisce che se in uno spazio vettoriale di dimensione $n$ si trovano $n$ vettori linearmente indipendenti formano una base. Forse intendevi che Francesco.93 dovrebbe dimostrare il suddetto teorema? Perchè mi sembra strano che in un esercizio si debba dimostrare un teorema puramente teorico.

Tra l'altro noto ora che prima hai scritto

"Lorin":Nell'esercizio il prof intende $i=(1,0,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1)$?
oppure si trattano come vettori generici?

Cosa cambia?

[Lorin1]

Si per la questione del teorema.
Per la seconda domanda l'ho chiesto perchè se i tre vettori erano generici allora il ragionamento diventava un tantino più complicato. Avendo a disposizione le coordinate è gratis invece

[Gi81]

Direi invece che è sufficiente sapere che ${veci,vecj,veck}$ è una base. Non serve avere le coordinate

[jellybean22]

Scusate se rispondo solo ora. Ma non ho avuto internet all'università! Grazie mille dell'aiuto, è tutto chiaro!