Domanda su sitemi lineari e rouchè capelli
Allora, ho cercato nel forum stavolta ma non ho trovato nulla di così specifico. E' una delle domande simili a quelle d'esame e devo dire quale di questi punti (da 1 a 4) è corretto.
Sia $ A in M(5x3,K) $. Allora:
1) $ EE b in M(5x1,K) $ tale che il sistema $ Ax=b $ non è risolubile
2) $ EE b in M(5x1,K) $ tale che il sistema $ Ax=b $ ha un'unica soluzione
3) Il sistema Ax=0 ha un'unica soluzione
4) $ AA b in M(5x1,K) $ , $ rg(A)=rg(A|b) $
Allora... le uniche cose che riesco a dire sono queste:
1) $ Ax=b $ non è risolubile $ hArr rg(A) != rg(A|b) $ . Ma il rango di A sarà $ rg(A)leqmin( ( 3 , 5 ) )=3 $ e il rango di $ (A|b) in M(5x4,K) $ sarà $ rg(A|b)leqmin( ( 4 , 5 ) )=4 $. Quindi se scelgo una matrice A con rango 3 ed ho una matrice completa con rango 4, significa che esiste almeno un b tale che il sistema non è risolubile!
2) $ Ax=b $ ha un'unica soluzione $ hArr rg(A) = rg(A|b) $ e se il rango è uguale al numero delle incognite che nel nostro caso è 3. Come visto dal punto 1), il rango di A è minore o uguale a 3, mentre il rango di (A|b) è minore o uguale di 4. Anche in questo caso posso scegliere la matrice A e il vettore b in modo tale che il sistema abbia un'unica soluzione, quindi è corretta anche questa!
3)In questo caso avrè che $ rg(A|0)=rg(A) $, ma in questo caso è possibile che $ rg(A|0)=rg(A)leq3 $ e quindi in questa circostanza il sistema avrebbe infinite soluzioni.
4)Se il ragionamento al punto 1) è corretto, questa è sicuramente sbagliata.
Allora, dovrebbe esserci solo UNA risposta corretta, e io ne ho trovate 2... Dove sbaglio???????
Sia $ A in M(5x3,K) $. Allora:
1) $ EE b in M(5x1,K) $ tale che il sistema $ Ax=b $ non è risolubile
2) $ EE b in M(5x1,K) $ tale che il sistema $ Ax=b $ ha un'unica soluzione
3) Il sistema Ax=0 ha un'unica soluzione
4) $ AA b in M(5x1,K) $ , $ rg(A)=rg(A|b) $
Allora... le uniche cose che riesco a dire sono queste:
1) $ Ax=b $ non è risolubile $ hArr rg(A) != rg(A|b) $ . Ma il rango di A sarà $ rg(A)leqmin( ( 3 , 5 ) )=3 $ e il rango di $ (A|b) in M(5x4,K) $ sarà $ rg(A|b)leqmin( ( 4 , 5 ) )=4 $. Quindi se scelgo una matrice A con rango 3 ed ho una matrice completa con rango 4, significa che esiste almeno un b tale che il sistema non è risolubile!
2) $ Ax=b $ ha un'unica soluzione $ hArr rg(A) = rg(A|b) $ e se il rango è uguale al numero delle incognite che nel nostro caso è 3. Come visto dal punto 1), il rango di A è minore o uguale a 3, mentre il rango di (A|b) è minore o uguale di 4. Anche in questo caso posso scegliere la matrice A e il vettore b in modo tale che il sistema abbia un'unica soluzione, quindi è corretta anche questa!
3)In questo caso avrè che $ rg(A|0)=rg(A) $, ma in questo caso è possibile che $ rg(A|0)=rg(A)leq3 $ e quindi in questa circostanza il sistema avrebbe infinite soluzioni.
4)Se il ragionamento al punto 1) è corretto, questa è sicuramente sbagliata.
Allora, dovrebbe esserci solo UNA risposta corretta, e io ne ho trovate 2... Dove sbaglio???????
Risposte
c'è un fatto molto curioso: delle 4 domande, la prima va risolta in un caso generale, e tu hai mostrato soltanto un esempio, qunidi non hai dimostrato nulla tra l'altro, anche se ci sei andato vicino.
nelle ultime 2 bastava fornire un buon controesempio, e tu invece le hai affrontate nel caso generale.
nella seconda anche fornisci solo un esempio, e quindi non dimostri nulla, infatti è lì l'errore.
in definitiva, hai sbagliato la 2, e inoltre non hai dimostrato la 1.
la 4 hai giustamente osservato che dipende dalla 1, quindi se dimostri quella ok.
ma il punto è che dovresti capire meglio quando basta un esempio per dimostrare una cosa e quando no.
nelle ultime 2 bastava fornire un buon controesempio, e tu invece le hai affrontate nel caso generale.
nella seconda anche fornisci solo un esempio, e quindi non dimostri nulla, infatti è lì l'errore.
in definitiva, hai sbagliato la 2, e inoltre non hai dimostrato la 1.
la 4 hai giustamente osservato che dipende dalla 1, quindi se dimostri quella ok.
ma il punto è che dovresti capire meglio quando basta un esempio per dimostrare una cosa e quando no.
Mmmm... ma perchè la 1 e la 2 devo dimostrarle in un caso generale??? Cioè, se io riesco a trovare un b tale che Ax=b non è risolubile dovrebbe essere giusta la prima no??? Nel caso specifico se io scelgo A e b come segue
$ ( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $
ho che il sistema non è risolubile se non sbaglio... e quindi avrei trovato un b per il quale la 1 è corretta...
Stessa cosa io farei per la 2... basta scegliere un b del tipo $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ e sarei a posto...
Ma forse quello che mi sfugge è che devo dimostrarlo qualunque sia A???? Perchè mi sa proprio di non riuscirci se devo dimostrarlo per qualsiasi A...
EDIT: forse ho capito... io devo dire se esiste un b che soddisfa le richieste, indipendentemente da come è fatta la matrice A. In tal caso per la 2) potrei dire che il b vettore colonna nullo, sicuramente mi da rgA=rg(A|b). Ma come faccio poi a dimostrare che effetivamente questo rango è uguale a 3 indipendentemente da A??? So solo che è minore o uguale a 3...
$ ( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $
ho che il sistema non è risolubile se non sbaglio... e quindi avrei trovato un b per il quale la 1 è corretta...
Stessa cosa io farei per la 2... basta scegliere un b del tipo $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ e sarei a posto...
Ma forse quello che mi sfugge è che devo dimostrarlo qualunque sia A???? Perchè mi sa proprio di non riuscirci se devo dimostrarlo per qualsiasi A...
EDIT: forse ho capito... io devo dire se esiste un b che soddisfa le richieste, indipendentemente da come è fatta la matrice A. In tal caso per la 2) potrei dire che il b vettore colonna nullo, sicuramente mi da rgA=rg(A|b). Ma come faccio poi a dimostrare che effetivamente questo rango è uguale a 3 indipendentemente da A??? So solo che è minore o uguale a 3...
inizi a capire.
non è difficile, ti basta generalizzare un po' il ragionamento che hai fatto.
in fondo non è mica necessario che il rango di $A$ sia proprio 3, e poi diventi 4.
può anche essere che il rango di $A$ è 1 e diventa 2..
ti viene in mente qualcosa?
non è difficile, ti basta generalizzare un po' il ragionamento che hai fatto.
in fondo non è mica necessario che il rango di $A$ sia proprio 3, e poi diventi 4.
può anche essere che il rango di $A$ è 1 e diventa 2..
ti viene in mente qualcosa?
Mi sa di essere ancora lontano dal risolvere il problema... a me verrebbe da dire così:
2) $ (A,b) $ ha un'unica soluzione sse $ rg(A)=rg(A|b)=3 $. Posso dire che $ AA A in M(5x3,K) $ , $ rg(A)=rg(A|b) $ sse b è il vettore nullo. In tal caso ho tolto diciamo la "dipendenza" dell'uguaglianza del rango dalla scelta di A. Ma in generale ho che $ rg(A|b)=rg(A|0)=rg(A)leq3 $. Quindi, comunque sia A, il valore del rango dipenderà sempre e comunque dalla scelta di A. Quindi in generale non esiste $ b in M(5x1,K) $ tale che $ rg(A)=rg(A|b)=3 $ $ AA A in M(5x3,K) $.
3)Qui hai detto che basta un controesempio, ma credo che se è corretto ciò che ho fatto nella 2, questa è sbagliata.
4)Anche qui basta un controesempio e posso dire con certezza che è sbagliata, in quanto se ne trovano a bizzeffe di esempi per cui non vale questa affermazione. Di fatti, sempre se è corretto quello che ho fatto nella 2, ho che $ rg(A)=rg(A|b) $, $ AA A in M(5x3,K) $, sse b è il vettore nullo.
Per esclusione direi che la 1 è giusta, ma tutto il mio ragionamento si basa sul fatto che la spiegazione della 2 sia corretta e, a questo punto, non so se l'ho fatta giusta oppure no.
2) $ (A,b) $ ha un'unica soluzione sse $ rg(A)=rg(A|b)=3 $. Posso dire che $ AA A in M(5x3,K) $ , $ rg(A)=rg(A|b) $ sse b è il vettore nullo. In tal caso ho tolto diciamo la "dipendenza" dell'uguaglianza del rango dalla scelta di A. Ma in generale ho che $ rg(A|b)=rg(A|0)=rg(A)leq3 $. Quindi, comunque sia A, il valore del rango dipenderà sempre e comunque dalla scelta di A. Quindi in generale non esiste $ b in M(5x1,K) $ tale che $ rg(A)=rg(A|b)=3 $ $ AA A in M(5x3,K) $.
3)Qui hai detto che basta un controesempio, ma credo che se è corretto ciò che ho fatto nella 2, questa è sbagliata.
4)Anche qui basta un controesempio e posso dire con certezza che è sbagliata, in quanto se ne trovano a bizzeffe di esempi per cui non vale questa affermazione. Di fatti, sempre se è corretto quello che ho fatto nella 2, ho che $ rg(A)=rg(A|b) $, $ AA A in M(5x3,K) $, sse b è il vettore nullo.
Per esclusione direi che la 1 è giusta, ma tutto il mio ragionamento si basa sul fatto che la spiegazione della 2 sia corretta e, a questo punto, non so se l'ho fatta giusta oppure no.
il punto 3 e il punto 4 li hai risolti correttamente, lasciamoli da parte.
il punto 1 è vero, ma non puoi dire che è vero per esclusione, lascia perdere il fatto che la domanda ti è stata posta nei termini di: trova l'unica falsa, cerca di capire la risposta di tutte. quindi cerca di fare qualcosa per dimostrare il punto 1, ti ho dato un suggerimento.
questo è falso.. è necessario e sufficiente invece che $b$ sia nell'immagine di $A$ !!!
il vettore nullo ci sta sempre, ma non è mica l'unico...
non è ancora un buon ragionamento. il modo migliore per mostrare che che la 2 è falsa, è comunque trovare un controesempio secondo me
il punto 1 è vero, ma non puoi dire che è vero per esclusione, lascia perdere il fatto che la domanda ti è stata posta nei termini di: trova l'unica falsa, cerca di capire la risposta di tutte. quindi cerca di fare qualcosa per dimostrare il punto 1, ti ho dato un suggerimento.
"mirko88.":
$ rg(A)=rg(A|b) $ sse b è il vettore nullo.
questo è falso.. è necessario e sufficiente invece che $b$ sia nell'immagine di $A$ !!!
il vettore nullo ci sta sempre, ma non è mica l'unico...
non è ancora un buon ragionamento. il modo migliore per mostrare che che la 2 è falsa, è comunque trovare un controesempio secondo me
Provo allora con un altro approccio e cerco di dimostrare che la corretta è la 1.
Il sistema in questione è risolubile solo se $ rg(A)=rg(A|b) $. Ciò implica che $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3)=dimcc(L)(A^1,A^2,A^3,b) $ (applico la definizione di rango e uso il rango per colonna).
Quindi ciò è verificato solo se i vettori colonna $ (A^1,A^2,A^3,b) $ sono linearmente dipendenti e cioè se $ b in cc(L)(A^1,A^2,A^3) $ .
Se ciò è vero, ossia se $ b in cc(L)(A^1,A^2,A^3) $ qualunque esso sia, significa che $ (A^1,A^2,A^3) $ generano lo spazio $ cc(M)(5xx1,K) $.
Ora, $ b in cc(M)(5xx1, K ) = cc(L)(b^1,...,b^5) $ , dove $ (b^1,...,b^5) $ è una base (la base standard) per $ cc(M)(5xx1,K) $.
Per il teorema fondamentale dell'algebra lineare, quindi, se $ (b^1,...,b^5) $ sono linearmente indipendenti (vero perchè sono una base) e se $ (A^1,A^2,A^3) $ generano lo spazio $ cc(M)(5xx1,K) $, allora dovrebbe essere 5<3 e ciò è evidentemente impossibile!!!!
Quindi significa che $ (A^1,A^2,A^3) $ non generano lo spazio $ cc(M)(5xx1,K) $ e cioè $ EE b !in cc(L)(A^1,A^2,A^3) $ con $ b in cc(M)(5xx1,K) $ tale che $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3)!=dimcc(L)(A^1,A^2,A^3,b) $, cioè $ rg(A)!=rg(A|b) $ e quindi tale che il sistema non è risolubile.
Come va questa???' E' giusta questa volta??? Spero di sì perchè ci ho pensato per un pò...
Il sistema in questione è risolubile solo se $ rg(A)=rg(A|b) $. Ciò implica che $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3)=dimcc(L)(A^1,A^2,A^3,b) $ (applico la definizione di rango e uso il rango per colonna).
Quindi ciò è verificato solo se i vettori colonna $ (A^1,A^2,A^3,b) $ sono linearmente dipendenti e cioè se $ b in cc(L)(A^1,A^2,A^3) $ .
Se ciò è vero, ossia se $ b in cc(L)(A^1,A^2,A^3) $ qualunque esso sia, significa che $ (A^1,A^2,A^3) $ generano lo spazio $ cc(M)(5xx1,K) $.
Ora, $ b in cc(M)(5xx1, K ) = cc(L)(b^1,...,b^5) $ , dove $ (b^1,...,b^5) $ è una base (la base standard) per $ cc(M)(5xx1,K) $.
Per il teorema fondamentale dell'algebra lineare, quindi, se $ (b^1,...,b^5) $ sono linearmente indipendenti (vero perchè sono una base) e se $ (A^1,A^2,A^3) $ generano lo spazio $ cc(M)(5xx1,K) $, allora dovrebbe essere 5<3 e ciò è evidentemente impossibile!!!!
Quindi significa che $ (A^1,A^2,A^3) $ non generano lo spazio $ cc(M)(5xx1,K) $ e cioè $ EE b !in cc(L)(A^1,A^2,A^3) $ con $ b in cc(M)(5xx1,K) $ tale che $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3)!=dimcc(L)(A^1,A^2,A^3,b) $, cioè $ rg(A)!=rg(A|b) $ e quindi tale che il sistema non è risolubile.
Come va questa???' E' giusta questa volta??? Spero di sì perchè ci ho pensato per un pò...
sei stato molto preciso, e direi che va bene, il ragionamento è proprio quello giusto.
non so cosa sia il teorema fondamentale dell'algebra, ma va bene comunque, hai anche ecceduto nei dettagli
mi pare però che non abbiamo ancora risolto la 2..
non so cosa sia il teorema fondamentale dell'algebra, ma va bene comunque, hai anche ecceduto nei dettagli
mi pare però che non abbiamo ancora risolto la 2..
Il teorema fondamentale dell'algebra dice quanto segue:
Sia V uno spazio vettoriale. Siano
1. $ (a_1, ... , a_n) $ un'n-upla di vettori linearmente indipendenti
2. $ (b_1, ... , b_m) $ un'm-upla che genera V
Allora $ n <= m $
Per la 2 mi ci metto a pensarci ora. Anche quella però devo dimostrarla in un caso generale e non basta un contro esempio vero?
Sia V uno spazio vettoriale. Siano
1. $ (a_1, ... , a_n) $ un'n-upla di vettori linearmente indipendenti
2. $ (b_1, ... , b_m) $ un'm-upla che genera V
Allora $ n <= m $
Per la 2 mi ci metto a pensarci ora. Anche quella però devo dimostrarla in un caso generale e non basta un contro esempio vero?
Riflettici, pensa bene a cosa dice il quesito..
Ci provo con un ragionamento simile a quello per il punto 1.
Dire che il sistema ha un'unica soluzione significa dire che $ rg(A)=rg(A|b)=3 $ , e cioè $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3)=dimcc(L)(A^1,A^2,A^3,b)=3 $ . Questo è verificato se valgono le due condizioni:
(a) $ b in cc(L)(A^1,A^2,A^3) $
(b) $ (A^1,A^2,A^3) $ sono linearmente indipendenti
Suppongo, allora, che $ AA b in cc(M)(5xx1,K) $ sia $ b in cc(L)(A^1,A^2,A^3) $ e siano $ (A^1,A^2,A^3) $ linearmente indipendenti. Allora deve essere necessariamente che $ (A^1,A^2,A^3) $ è una base per $ cc(M)(5xx1,K) $ e quindi $ dimcc(M)(5xx1,K)=dimcc(L)(A^1,A^2,A^3) $.
Tuttavia, $ dimcc(M)(5xx1,K)=5!=3=dimcc(L)(A^1,A^2,A^3) $.
Quindi le ipotesi (a) e (b) non possono essere corrette e quindi la 2) è sbagliata. In particolare si presentano i seguenti casi:
1. se è falsa (a) e cioè $ b !in cc(L)(A^1,A^2,A^3) $ e $ (A^1,A^2,A^3) $ sono linearmente indipendenti allora $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3)=3!=4=dimcc(L)(A^1,A^2,A^3,b) $ e in particolare in questo caso il sistema non è nemmeno risolubile.
2. se è falsa (b) e cioè $ (A^1,A^2,A^3) $ sono linearmente dipendenti, posso scrivere, per esempio $ A^1 in cc(L)(A^2,A^3) $ e cioè $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3)=dimcc(L)(A^2,A^3) < 3 $, mentre poichè resta valida (a) e $ A^1 in cc(L)(A^2,A^3) $ allora $ b in cc(L)(A^2,A^3) $ e quindi in questo caso $ rg(A|b)=dimcc(L)(A^1,A^2,b)=dimcc(L)(A^1,A^2)=rg(A) < 3 $ e in particolare il sistema è risolubile, ma ha infinite soluzioni.
3. se sono false sia (a) che (b), allora $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3) < 3 $ (e già qui casca l'asino), e $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3,b) > dimcc(L)(A^1,A^2,A^3) $ (se non sbaglio).
Corretto come ragionamento???
Dire che il sistema ha un'unica soluzione significa dire che $ rg(A)=rg(A|b)=3 $ , e cioè $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3)=dimcc(L)(A^1,A^2,A^3,b)=3 $ . Questo è verificato se valgono le due condizioni:
(a) $ b in cc(L)(A^1,A^2,A^3) $
(b) $ (A^1,A^2,A^3) $ sono linearmente indipendenti
Suppongo, allora, che $ AA b in cc(M)(5xx1,K) $ sia $ b in cc(L)(A^1,A^2,A^3) $ e siano $ (A^1,A^2,A^3) $ linearmente indipendenti. Allora deve essere necessariamente che $ (A^1,A^2,A^3) $ è una base per $ cc(M)(5xx1,K) $ e quindi $ dimcc(M)(5xx1,K)=dimcc(L)(A^1,A^2,A^3) $.
Tuttavia, $ dimcc(M)(5xx1,K)=5!=3=dimcc(L)(A^1,A^2,A^3) $.
Quindi le ipotesi (a) e (b) non possono essere corrette e quindi la 2) è sbagliata. In particolare si presentano i seguenti casi:
1. se è falsa (a) e cioè $ b !in cc(L)(A^1,A^2,A^3) $ e $ (A^1,A^2,A^3) $ sono linearmente indipendenti allora $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3)=3!=4=dimcc(L)(A^1,A^2,A^3,b) $ e in particolare in questo caso il sistema non è nemmeno risolubile.
2. se è falsa (b) e cioè $ (A^1,A^2,A^3) $ sono linearmente dipendenti, posso scrivere, per esempio $ A^1 in cc(L)(A^2,A^3) $ e cioè $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3)=dimcc(L)(A^2,A^3) < 3 $, mentre poichè resta valida (a) e $ A^1 in cc(L)(A^2,A^3) $ allora $ b in cc(L)(A^2,A^3) $ e quindi in questo caso $ rg(A|b)=dimcc(L)(A^1,A^2,b)=dimcc(L)(A^1,A^2)=rg(A) < 3 $ e in particolare il sistema è risolubile, ma ha infinite soluzioni.
3. se sono false sia (a) che (b), allora $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3) < 3 $ (e già qui casca l'asino), e $ dimcc(L)(A^1,A^2,A^3,b) > dimcc(L)(A^1,A^2,A^3) $ (se non sbaglio).
Corretto come ragionamento???
hai ancora sbagliato a interpretare la domanda.
quello che tu hai cercato di dimostrare è che il sistema non ha mai una soluzione unica.
il che è chiaramente falso.
quando si verificano le ipotesi (a) e (b) allora il sistema ha una unica soluzione.
prova a capire la domanda, ormai dovrebbe essere chiaro!
ti si chiede: è vero che presa $A$ generica $3xx5$, esiste sempre un vettore $b$ $5xx1$ tale che $Ax=b$ ha una unica soluzione?
è molto evidente che qui basta trovare un controesempio.
e tu ne hai trovati di tre tipi, ma è tutto un lavoro inutile, come detto per dimostrare che quella afermazione è falsa ti basta un controesempio.
quello che tu hai cercato di dimostrare è che il sistema non ha mai una soluzione unica.
il che è chiaramente falso.
quando si verificano le ipotesi (a) e (b) allora il sistema ha una unica soluzione.
prova a capire la domanda, ormai dovrebbe essere chiaro!
ti si chiede: è vero che presa $A$ generica $3xx5$, esiste sempre un vettore $b$ $5xx1$ tale che $Ax=b$ ha una unica soluzione?
è molto evidente che qui basta trovare un controesempio.
e tu ne hai trovati di tre tipi, ma è tutto un lavoro inutile, come detto per dimostrare che quella afermazione è falsa ti basta un controesempio.
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