Domanda su Gauss
Salve a tutti , ho i sistemi Ax=b , Ax=c , Ax=d .
Ovvero tre sistemi che hanno la stessa matrice A , ma sono differenti nelle colonne dei termini noti ;
posso portare a scala la matrice A e poi calcolare uno per uno i tre sistemi ? Dovrei fare qualche modifica alle colonne dei termini noti ?
Grazie
Ovvero tre sistemi che hanno la stessa matrice A , ma sono differenti nelle colonne dei termini noti ;
posso portare a scala la matrice A e poi calcolare uno per uno i tre sistemi ? Dovrei fare qualche modifica alle colonne dei termini noti ?
Grazie
Risposte
Tutte le operazioni elementari, che applichi alla matrice dei coefficienti $A$, le devi applicare anche alla colonna dei termini noti $b$, per questo in genere si riduce la matrice completa $(A|b)$.
Ovviamente in questo caso ti conviene ridurre, per esempio, $(A|b)$ e poi applichi le stesse operazioni alle singole colonne $c, d$.
Ovviamente in questo caso ti conviene ridurre, per esempio, $(A|b)$ e poi applichi le stesse operazioni alle singole colonne $c, d$.
L'esercizio è questo , lo fareste con Gauss , o attraverso una fattorizzazione ?
In generale vale $A(x1,x2,x3,4)=(b1,b2,b3,b4)$ dove $(x1,x2,x3,x4)$ è la matrice $4x4$ che ha come colonne i vettori $x1,x2,x3,x4$.E analogamente per $(b1,b2,b3,b4)$.
Da questo punto di vista basta calcolare $A^-1$ infatti $A^-1A(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4)=A^-1(b1,b2,b3,b4)$
E il risultato sarebbe una matrice $4x4$ che ha ad ogni colonna la soluzione del sistema corrispondente. Sono quasi sicuro che sia corretto come procedimento
Oppure più semplicemente $Ax=b$ e quindi se conosci $A^-1$ hai $x=A^-1b$. In pratica basta che calcoli una matrice inversa e poi hai una formula risolutiva chiusa del sistema per ogni $b$
Da questo punto di vista basta calcolare $A^-1$ infatti $A^-1A(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4)=A^-1(b1,b2,b3,b4)$
E il risultato sarebbe una matrice $4x4$ che ha ad ogni colonna la soluzione del sistema corrispondente. Sono quasi sicuro che sia corretto come procedimento
Oppure più semplicemente $Ax=b$ e quindi se conosci $A^-1$ hai $x=A^-1b$. In pratica basta che calcoli una matrice inversa e poi hai una formula risolutiva chiusa del sistema per ogni $b$
Il suggerimento di Ernesto è giusto ma non sempre la matrice dei coefficienti $A$ $n xx n$ è invertibile,
lo è $hArr r(A)=n hArr det(A)ne0$!
lo è $hArr r(A)=n hArr det(A)ne0$!
Grazie mille , se la matrice non fosse invertibile ?
"quer":
se la matrice non fosse invertibile ?
In tal caso non si può più parla di un'unica soluzione, ma di infinità di soluzioni; cioè ci saranno delle incognite (dominanti) che saranno C.L. di altre incognite (libere).
Però c'è da precisare che, per il teorema di (Kronecker-)Rouché-Capelli, affinché il sistema ammetta una soluzione (cioè sia compatibile) si deve ottenere che $r(A)=r(A, b)$.
Mentre in sistema lineare omogeneo ammette sempre una soluzione: quella nulla.
P.S. Comunque, se la matrice dei coefficienti ha rango massimo, allora potresti usare anche Cramer!
Il determinante della matrice è un numero molto elevato , circa 27000 .
L'esercizio richiede l'uso di metodi diretti , forse il metodo migliore è utilizzare Gauss su A e poi applicare le modifiche anche su B...
Non c'è un modo per velocizzare quest'ultimo metodo ? ( Magari utilizzando i moltiplicatori )
L'esercizio richiede l'uso di metodi diretti , forse il metodo migliore è utilizzare Gauss su A e poi applicare le modifiche anche su B...
Non c'è un modo per velocizzare quest'ultimo metodo ? ( Magari utilizzando i moltiplicatori )
In effetti con Cramer è ancora più tedioso il calcolo, per cui conviene Gauss!
(i moltiplicatori non li conosco
)
(i moltiplicatori non li conosco
)
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