Domanda su forme bilineari (o prodotti scalari)
Ciao,
durante lo studio mi sono accorto che mi è sorto un dubbio del quale però non so come dare una risposta valida. O meglio ci ho provato ma non sono sicuro sia corretta.
L'idea intuitiva che vorrei portare è la seguente, mettiamo di essere nello spazio $V_3$ euclideo classico, per intenderci quello per cui tutti abbiamo una concezione semplice e quasi innata (dalle scuole superiori) di freccette coapplicate nell'origine e che puntano nello spazio.
Quello che noto è il seguente fatto, se ad esempio anziché prendere come base i classici versori i, j, k, prendessi i', j', k' siffatti: stringo l'angolo tra i e j e così come l'angolo di proiezione di k sul piano da i,j.
Mi chiedo quindi se posso trovare un prodotto scalare che li identifichi ortogonali per qulunque angolo che scelgo, con questi angoli diversi dal classico 90°.
Inizialmente mi ero posto il dubbio se questo prodotto che li vede ortogonali non potesse essere una forma bilineare ma che non sia definita positiva, quello che cioè mi domando è: come faccio a sapere che se anche tale prodotto scalare esiste non sia ad esempio semidefinito? o indefinito? ma che sia sicuramente definito positivo?
La risposta che mi sono dato è la seguente: perché noto che prendendoli (i', j', k') come base, avrò le componenti in $RR^3$ di tale base rispetto a sé stssa che saranno la base canonica e ovviamente posso definire il prodotto scalare canonico. Qundi nel mio isomorfismo che ho creato il mio prodotto scalare canonico rende perfettamente conto dell'ortogonalità di un qualsiasi angolo che io scelgo.
Però qui mi chiedo, se invece non volessi passare per tale isomorfismo come posso domostrare che per qualunque angolo scelto tra i', j', k' trovo un tal prodotto scalare in V3 (che abbia le caratteristiche sopra elencate)?
Poi però mi è venuto un altro dubbio, se io svolgo il prodotto vettoriale in componenti (cioè col determinante formale) rimane comunque coerente con questa nuova "ortogonalità"? Mi pare di sì perché nel mio isomorfismo in $RR^3$ il prodotto vettoriale dice che ad esempio i'xj'=k', con k' il mio k' con angolo cercato.
Quindi in definitiva: qualunque angolo prenda tra tre vettori linearmente indipendenti del mio V3 posso sempre trovare un prodottto scalare in V3 che li classifica ortogonali. E tale prodotto scalare sarà definito positivo (non indefinito, negativo o semidefinito).
E' giusto?
PS: in modo coerente col mio testo uso in modo intercambiabile forma bilineare e prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica però che puo essere sia postivia che negativa che indefinita ecc.
durante lo studio mi sono accorto che mi è sorto un dubbio del quale però non so come dare una risposta valida. O meglio ci ho provato ma non sono sicuro sia corretta.
L'idea intuitiva che vorrei portare è la seguente, mettiamo di essere nello spazio $V_3$ euclideo classico, per intenderci quello per cui tutti abbiamo una concezione semplice e quasi innata (dalle scuole superiori) di freccette coapplicate nell'origine e che puntano nello spazio.
Quello che noto è il seguente fatto, se ad esempio anziché prendere come base i classici versori i, j, k, prendessi i', j', k' siffatti: stringo l'angolo tra i e j e così come l'angolo di proiezione di k sul piano da i,j.
Mi chiedo quindi se posso trovare un prodotto scalare che li identifichi ortogonali per qulunque angolo che scelgo, con questi angoli diversi dal classico 90°.
Inizialmente mi ero posto il dubbio se questo prodotto che li vede ortogonali non potesse essere una forma bilineare ma che non sia definita positiva, quello che cioè mi domando è: come faccio a sapere che se anche tale prodotto scalare esiste non sia ad esempio semidefinito? o indefinito? ma che sia sicuramente definito positivo?
La risposta che mi sono dato è la seguente: perché noto che prendendoli (i', j', k') come base, avrò le componenti in $RR^3$ di tale base rispetto a sé stssa che saranno la base canonica e ovviamente posso definire il prodotto scalare canonico. Qundi nel mio isomorfismo che ho creato il mio prodotto scalare canonico rende perfettamente conto dell'ortogonalità di un qualsiasi angolo che io scelgo.
Però qui mi chiedo, se invece non volessi passare per tale isomorfismo come posso domostrare che per qualunque angolo scelto tra i', j', k' trovo un tal prodotto scalare in V3 (che abbia le caratteristiche sopra elencate)?
Poi però mi è venuto un altro dubbio, se io svolgo il prodotto vettoriale in componenti (cioè col determinante formale) rimane comunque coerente con questa nuova "ortogonalità"? Mi pare di sì perché nel mio isomorfismo in $RR^3$ il prodotto vettoriale dice che ad esempio i'xj'=k', con k' il mio k' con angolo cercato.
Quindi in definitiva: qualunque angolo prenda tra tre vettori linearmente indipendenti del mio V3 posso sempre trovare un prodottto scalare in V3 che li classifica ortogonali. E tale prodotto scalare sarà definito positivo (non indefinito, negativo o semidefinito).
E' giusto?
PS: in modo coerente col mio testo uso in modo intercambiabile forma bilineare e prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica però che puo essere sia postivia che negativa che indefinita ecc.
Risposte
Quindi in definitiva: qualunque angolo prenda tra tre vettori linearmente indipendenti del mio V3 posso sempre trovare un prodottto scalare in V3 che li classifica ortogonali.
Ciao Mitcho, io consiglio di sforzarti di sintetizzare. Se rileggi il tuo messaggio ti accorgerai che potevi tagliare via praticamente tutto e lasciare solo questa affermazione, senza perdere quasi niente del contenuto. Questo lavoro di sintesi sarà utile a chi ti legge ma anche e soprattutto a te.
Per rispondere alla domanda del quote, la risposta è affermativa. Dati tre vettori di \(\mathbb R^3\) linearmente indipendenti esiste un unico prodotto scalare rispetto ai quali i vettori sono ortonormali. Non scrivo la dimostrazione perché è un esercizio che dovresti sapere fare da solo, e se non ci riesci adesso, tienilo nel cassetto perché prima o poi ci riuscirai. Si tratta di un ottimo esercizio perché ti fa capire una cosa concettualmente importante. Assegnare un prodotto scalare è esattamente la stessa cosa che assegnare tre vettori ortonormali, ovvero, assegnare un sistema di assi cartesiani e una unità di misura delle lunghezze.
Ti ringrazio per il consiglio di cui sicuramente farò tesoro.
Ho tuttavia una domanda, perché una soluzione valida mi pareva di averla trovata con quell'isomorfismo che ho proposto nello scritto. Non può funzionare? A me sembrava di sì...
Ho tuttavia una domanda, perché una soluzione valida mi pareva di averla trovata con quell'isomorfismo che ho proposto nello scritto. Non può funzionare? A me sembrava di sì...
La risposta che mi sono dato è la seguente: perché noto che prendendoli (i', j', k') come base, avrò le componenti in R3 di tale base rispetto a sé stssa che saranno la base canonica e ovviamente posso definire il prodotto scalare canonico. Qundi nel mio isomorfismo che ho creato il mio prodotto scalare canonico rende perfettamente conto dell'ortogonalità di un qualsiasi angolo che io scelgo.
Però qui mi chiedo, se invece non volessi passare per tale isomorfismo come posso domostrare che per qualunque angolo scelto tra i', j', k' trovo un tal prodotto scalare in V3 (che abbia le caratteristiche sopra elencate)?
Nessuno saprebbe darmi qualche idea in più? 
Perché quella da me postata sembra già dimostrare quanto dice dissonance?
Vorrei chiedere un aiuto per uscire da questo dubbio!
Perché quella da me postata sembra già dimostrare quanto dice dissonance?
Vorrei chiedere un aiuto per uscire da questo dubbio!
A mio modo di vedere dovresti spiegarti usando formule, perché in matematica è difficile capire un discorso che non si traduce in qualcosa di concreto. Prova a scrivere esplicitamente quanto vale il prodotto scalare di cui parli applicato a due vettori qualsiasi.
Ciao Martino, ti ringrazio molto per la risposta.
Devo ammettere che non saprei scrivere un prodoto scalare del genere nel senso che mi piacerebbe dimostrare quella che è una mia ipotesi, ossia che prendendo una qualsiasi base {i', j', k'} tale che l'angolo tra i vettori indicati non sia il classico 90°, allora posso deninire sempre un prodotto scalare.
Cioè sto dicendo che penso valga questo:
qualunque angolo prenda tra tre vettori linearmente indipendenti del mio V3 posso sempre trovare un prodottto scalare in V3 che li classifica ortogonali. E tale prodotto scalare sarà definito positivo (non indefinito, negativo o semidefinito).
Però non so come renderlo formalmente.
E la risposta che mi ero dato per mostrare questa idea era:
Devo ammettere che non saprei scrivere un prodoto scalare del genere nel senso che mi piacerebbe dimostrare quella che è una mia ipotesi, ossia che prendendo una qualsiasi base {i', j', k'} tale che l'angolo tra i vettori indicati non sia il classico 90°, allora posso deninire sempre un prodotto scalare.
Cioè sto dicendo che penso valga questo:
qualunque angolo prenda tra tre vettori linearmente indipendenti del mio V3 posso sempre trovare un prodottto scalare in V3 che li classifica ortogonali. E tale prodotto scalare sarà definito positivo (non indefinito, negativo o semidefinito).
Però non so come renderlo formalmente.
E la risposta che mi ero dato per mostrare questa idea era:
La risposta che mi sono dato è la seguente: perché noto che prendendoli (i', j', k') come base, avrò le componenti in R3 di tale base rispetto a sé stssa che saranno la base canonica e ovviamente posso definire il prodotto scalare canonico. Qundi nel mio isomorfismo che ho creato il mio prodotto scalare canonico rende perfettamente conto dell'ortogonalità di un qualsiasi angolo che io scelgo.
Però qui mi chiedo, se invece non volessi passare per tale isomorfismo come posso domostrare che per qualunque angolo scelto tra i', j', k' trovo un tal prodotto scalare in V3 (che abbia le caratteristiche sopra elencate)?
Scrivendo
$v=a_1i'+a_2j'+a_3k'$
$w=b_1i'+b_2j'+b_3k'$
con gli $a_i,b_j$ scalari, definisci
$v*w=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
è così?
Se è questo che fai, qual è la difficoltà nel formalizzarlo come ho fatto qui sopra? In matematica le cose vanno formalizzate, altrimenti restano molto fumose.
$v=a_1i'+a_2j'+a_3k'$
$w=b_1i'+b_2j'+b_3k'$
con gli $a_i,b_j$ scalari, definisci
$v*w=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
è così?
Se è questo che fai, qual è la difficoltà nel formalizzarlo come ho fatto qui sopra? In matematica le cose vanno formalizzate, altrimenti restano molto fumose.
Solo per rimarcare che sono d'accordo con Martino. È quello che volevo dire nel mio post precedente. Invece di tante parole, un piccolo ragionamento matematico risolverebbe la questione in modo convincente e conciso.
Non dico che abbiate torto, in realtà sto solo cercando di imparare 
e ovviamente SO che avete perfettamente ragione e mi sforzerò in tal senso in futuro.
Tornando al topic
Facendo così mi sembrava che stessi definendo un prodotto scalare sulle componenti, ed è per quello che non mi ritrovavo molto, mentre mi piaceva pensarlo come V3, cioè similmente a quello geometrico $x*y:=||x||*|||y||*costheta$. E poi portarlo dopo in componenti.
Quello che voglio dire con il prodotto definito col coseno prima definisco quel tipo di prodotto in V3 e poi mi sembra solo a posteriori io possa dire che è $v*w=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ e volevo fare qualcosa di analogo con un angolo qualsiasi in sostanza.
Di fatto scrivendolo come hai fatto tu, è già valido questo:
Perché l'isomorfismo è automatico e il prodotto in $R^3$ corrisponde perfettamente a quello da te definito.
e ovviamente SO che avete perfettamente ragione e mi sforzerò in tal senso in futuro.Tornando al topic
"Martino":
Scrivendo
$v=a_1i'+a_2j'+a_3k'$
$w=b_1i'+b_2j'+b_3k'$
con gli $a_i,b_j$ scalari, definisci
$v*w=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
Facendo così mi sembrava che stessi definendo un prodotto scalare sulle componenti, ed è per quello che non mi ritrovavo molto, mentre mi piaceva pensarlo come V3, cioè similmente a quello geometrico $x*y:=||x||*|||y||*costheta$. E poi portarlo dopo in componenti.
Quello che voglio dire con il prodotto definito col coseno prima definisco quel tipo di prodotto in V3 e poi mi sembra solo a posteriori io possa dire che è $v*w=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ e volevo fare qualcosa di analogo con un angolo qualsiasi in sostanza.
Di fatto scrivendolo come hai fatto tu, è già valido questo:
La risposta che mi sono dato è la seguente: perché noto che prendendoli (i', j', k') come base, avrò le componenti in R3 di tale base rispetto a sé stssa che saranno la base canonica e ovviamente posso definire il prodotto scalare canonico. Qundi nel mio isomorfismo che ho creato il mio prodotto scalare canonico rende perfettamente conto dell'ortogonalità di un qualsiasi angolo che io scelgo.
Però qui mi chiedo, se invece non volessi passare per tale isomorfismo come posso domostrare che per qualunque angolo scelto tra i', j', k' trovo un tal prodotto scalare in V3 (che abbia le caratteristiche sopra elencate)?
Perché l'isomorfismo è automatico e il prodotto in $R^3$ corrisponde perfettamente a quello da te definito.
Purtroppo non si capisce niente, devi scriverlo in formule.
Scusami 
Volevo in sostanza dire che, preso un vettore $x in V_3$, essendo $B={i', j', k'}$ base posso scrivere $x=x_1i'+x_2j'+x_3k'$ quindi tramite siomorfismo coordinato: $[x]_B=(x_1,x_2,x_3)$
d'altra parte posso riscrivere i vettori di B rispetto a sé stessi:
$[i']_B=(1,0,0)$
$[j']_B=(0,1,0)$
$[k']_B=(0,0,1)$
Inoltre sapendo che in $RR^3$ esiste il prodotto scalare canonico lo assumo come mio prodotto scalare.
A questo punto posso procedere così:
Io voglio mostrare che in $V_3$, qualunque angolo prenda tra i versori ho un prodotto scalare definito positivo ecc. e quindi di fondo un concetto di ortogonalità per qualunque angolo che sussista tra i', j' o k'... quindi, qualunque x e y in $V_3$ io assuma posso rivederli in $RR^3$ passando alle componenti, posso svolgerne il prodotto da me assunto (e saranno o meno ortogonali queste componenti), e poi invertendo l'isomorfismo coordinato tornare in $V_3$ e concludo che se erano ortogonali in $RR^3$ tramite isomorfismo coordinato concludo che sono ortogonali anche in $V_3$ (e viceversa ovviamente).
Questo dovrebbe dimostrare che qualunque base B io scelgo, proprio perché posso tramite isomorfismo coordinato portarla in $RR^3$ come base canonica (di $RR^3$) definendo il solito prodotto scalare canonico (in R3) con tale prodotto scalare (in R3) mi induce tramite isomorfismo il prodotto in $V_3$ che rende ortogonali i versori.
Un po' contorto ma era stato questo il mio ragionamento.
La risposta che mi sono dato è la seguente: perché noto che prendendoli (i', j', k') come base, avrò le componenti in R3 di tale base rispetto a sé stssa che saranno la base canonica e ovviamente posso definire il prodotto scalare canonico. Qundi nel mio isomorfismo che ho creato il mio prodotto scalare canonico rende perfettamente conto dell'ortogonalità di un qualsiasi angolo che io scelgo.
Però qui mi chiedo, se invece non volessi passare per tale isomorfismo come posso domostrare che per qualunque angolo scelto tra i', j', k' trovo un tal prodotto scalare in V3 (che abbia le caratteristiche sopra elencate)?
Volevo in sostanza dire che, preso un vettore $x in V_3$, essendo $B={i', j', k'}$ base posso scrivere $x=x_1i'+x_2j'+x_3k'$ quindi tramite siomorfismo coordinato: $[x]_B=(x_1,x_2,x_3)$
d'altra parte posso riscrivere i vettori di B rispetto a sé stessi:
$[i']_B=(1,0,0)$
$[j']_B=(0,1,0)$
$[k']_B=(0,0,1)$
Inoltre sapendo che in $RR^3$ esiste il prodotto scalare canonico lo assumo come mio prodotto scalare.
A questo punto posso procedere così:
Io voglio mostrare che in $V_3$, qualunque angolo prenda tra i versori ho un prodotto scalare definito positivo ecc. e quindi di fondo un concetto di ortogonalità per qualunque angolo che sussista tra i', j' o k'... quindi, qualunque x e y in $V_3$ io assuma posso rivederli in $RR^3$ passando alle componenti, posso svolgerne il prodotto da me assunto (e saranno o meno ortogonali queste componenti), e poi invertendo l'isomorfismo coordinato tornare in $V_3$ e concludo che se erano ortogonali in $RR^3$ tramite isomorfismo coordinato concludo che sono ortogonali anche in $V_3$ (e viceversa ovviamente).
Questo dovrebbe dimostrare che qualunque base B io scelgo, proprio perché posso tramite isomorfismo coordinato portarla in $RR^3$ come base canonica (di $RR^3$) definendo il solito prodotto scalare canonico (in R3) con tale prodotto scalare (in R3) mi induce tramite isomorfismo il prodotto in $V_3$ che rende ortogonali i versori.
Un po' contorto ma era stato questo il mio ragionamento.
"mitcho":Fin qui ti seguo bene, invece quello che dici dopo è per me del tutto incomprensibile.
... il prodotto scalare canonico lo assumo come mio prodotto scalare.
Se fai così:
Non capisco perché poi cominci a parlare di isomorfismi coordinati, angoli, la definizione geometrica col coseno eccetera.
"Martino":allora con questo prodotto scalare (che è ovviamente definito positivo) hai che $i',j',k'$ sono mutuamente ortogonali e la storia finisce qui.
Scrivendo
$v=a_1i'+a_2j'+a_3k'$
$w=b_1i'+b_2j'+b_3k'$
con gli $a_i,b_j$ scalari, definisci
$v*w=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
Non capisco perché poi cominci a parlare di isomorfismi coordinati, angoli, la definizione geometrica col coseno eccetera.
Fin qui ti seguo bene, invece quello che dici dopo è per me del tutto incomprensibile.
Forse con un esempio funziona meglio:
Sia la base di $V_2$ con i e j tali che abbiano un angolo tra loro di (che so) 30°.
La mia idea era questa e non capisco perché non funzionerebbe:
So che dato $x in V_2$ posso scrivere essendo $B={i,j}$ base: $x=ai+bj$, qualunque x sia.
se assumo x=i e x=j posso scomporli rispettivamente come: $i=1i+0j$ e $j=0i+1j$, l'isomorfismo coordinato mi permette di scrivere le n-uple date dai coefficienti dei rispettivi versori: $_B=(1,0), [j]_B=(0,1)$ e anche un generico $[x]_B=(x_1,x_2)$
Detto ciò definisco in $RR^2$ (lo spazio delle coordinate rispetto alla base) il prodotto scalare siffatto: $[x]_B*[y]_B=(x_1,x_2)*_S(y_1,y_2)=x_1y_1+x_2y_2$.
Con questo prodotto scalare ho $_B*[j]_B=0$ ortogonali.
Quindi ora ogni volta che le componenti di un certo $x in V_2$ sono ortogonali in $RR^2$ alle componenti di un certo $z in V$ (ossia $[x]_B*[z]_B=0$), se torno allo spazio $V_2$ (cioè nello spazio origine) ho $x*y=0$
Quindi posso concludere che qualunque sia l'angolo scelto tra i e j, li posso mappare in $RR^2$ rispetto a sé stessi e quindi definire il prodotto scalare canonico in $RR^2$, il quale mi induce (tramite isomorfismo coordinato) il prodotto scalare in $V_2$ per cui quei due i e j sono ortogonali.
D'altra parte questo posso farlo qualunque siano gli i e j scelti => vale sempre che posso definire un prodotto scalare per cui i e j sono ortogonali (qualsiasi sia l'angolo che scelgo tra loro): è proprio il prodotto scalare indotto nel modo che ho spiegato. No?
Sì giusto.
Comunque è solo una complicazione affari semplici, dato che la tua spiegazione mi pare ben più chiara e lineare . Non so perché mi sia uscita più intuitiva[nota]quella che maldestramente avevo spiegato nel primo messaggio era proprio quella del mio ultimo[/nota] la via più (inutilmente) tortuosa, però ormai ero curioso di sapere se avesse senso. Ti ringrazio per aver seguito i miei ragionamenti!
. Non so perché mi sia uscita più intuitiva[nota]quella che maldestramente avevo spiegato nel primo messaggio era proprio quella del mio ultimo[/nota] la via più (inutilmente) tortuosa, però ormai ero curioso di sapere se avesse senso. Ti ringrazio per aver seguito i miei ragionamenti!
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