Domanda su errore di approccio per sistema lineare

[L'emissario]

Ciao a tutti volevo proporvi un problema che avevo incontrato risolvendo il seguente quesito:
ho il seguente sistema lineare:
$v_1=i_1*z_11+i_2*z_12$
$v_2=i_1*z_21+i_2*z_22$

e voglio ricavarmi l'espressione di $i_2$ in funzione di $i_1 $ che assumo nota, come assumo note $v_1$ e $v_2$ perchè ne ho le espressioni sopra, per farlo mi riscrivo il sistema in notazione matriciale :
\[
\begin{bmatrix}
v_1 \\ v_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22}
\end{bmatrix}
*
\begin{bmatrix}
i_1 \\ i_2
\end{bmatrix}
\]
e applico cramer quindi mi devo calcolare il determinante di
\[
\begin{bmatrix}
A
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
z_{11} & v_1 \\ z_{21} & v_2
\end{bmatrix}
\]
che ho ottenuto sostituendo la seconda colonna della matrice con il vettore $[v_1 \ \v_2]$
il determinante è $det[A] = z_11*v_2-z_21*v_1$, devo dividerlo poi per il determinante della matrice
\[
\begin{bmatrix}
B
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22}
\end{bmatrix}
\]
che è $det= z_11*z_22-z_12*z_21$
faccio il rapporto e ottengo:
$det[A]/det=(z_11*v_2-z_21*v_1)/(z_11*z_22-z_12*z_21)$
adesso nella mia capoccia mi sono detto perfetto ho un espressione dove ho un incognita ,$i_2$ una variabile che assumo nota,$i_1$ e due incognite di cui conosco le espressioni in funzione di $i_1$ e $i_2$, che sono appunto $v_1$ e $v_2$, quindi se voglio esprimere $i_2$ in funzione di $i_1$ devo solo sostituire le espressioni di $v_1$ e $v_2$ dentro l'equazione sopra e ho fatto, solo che mi ritrovo nella situazione in cui ho
$z_11*(i_1*z_21+i_2*z_22)-z_21*(i_1*z_11+i_2*z_12)$
ho scritto solo il numeratore del rapporto tanto nel denominatore non ho sostituzioni da fare, e mi ritrovo quindi con:
$(z_11*i_1*z_21)+(z_11*i_2*z_22)-(z_21*i_1*z_11)-(z_21*i_2*z_12)=$

$(z_11*i_1*z_21)-(z_21*i_1*z_11)+(z_11*i_2*z_22)-(z_21*i_2*z_12)$
e quindi in sostanza i termini con $i_1$ mi si eliminano e quelli con $i_2$ la raccolgo e semplifico con il denominatore, per cui mi ritrovo con $i_2 = i_2$ che per carità bello perchè è un uguaglianza però capite non è quello che mi ero prefissato, il problema è che non riesco a capire perchè questo si verifica, se ho un equazione con 4 incognite e 3 le conosco perchè una la do per nota e le altre due ne conosco l'espressione in funzione di quella nota e di quella incognita, in teoria dovrei riuscire a trovare la soluzione ad esempio se ho
$a = 3b+3c , b = a+d, c = 2a+2d $ ottengo usando il ragionamento sopra che
$a = 3(a+d)+3(2a+2d) = 3a+3d+6a+6d =>a = 9a+9d =>a=-(9/8)d$
perchè nel caso sopra non si verifica e mi ritrovo con $i_2=i_2$? se vi interessa ho preso questo problema da una matrice a parametri ibridi per una rete 2porte

[Lebesgue]

beh facendo così letteralmente stai facendo avanti e dietro, quindi ovvio che trovi una cosa ovvia tipo $i_2 = i_2$.

Tu stai scrivendo che sai:
$a = b + c$
$d = 2b + c$
$b$ la conosci e vuoi $c$: quindi ricavi ad esempio dalla prima
$c = a - b$, però ora sostituisci $a = b+c$ da cui ricavi $c = c$, che è quello che stai facendo tu.

Penso che quello che vuoi fare tu è ricavare le espressioni di $i_1$ e $i_2$ in funzione di $v_1$ e $v_2$, cosa che puoi fare semplicemente invertendo la matrice dei coefficienti, che hai chiamato $A$

[L'emissario]

Ti ringrazio per la risposta